微积分学示例

$\int \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

解题步骤 1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{3}}} d x$

解题步骤 2

使 $x = 2 \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 2 \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $2 \cos (t)$ 为正数。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简 $\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.1

对 $2 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (2^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (4 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.3

从 $- 4 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.4

从 $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 \cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.6

对 $4 \cos^{2} (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.7

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.8

将 ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.8.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 \cos^{6} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.9

将 $64 \cos^{6} (t)$ 重写为 ${(8 \cos^{3} (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(8 \cos^{3} (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.10

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{8 \cos^{3} (t)} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.2.1

约去 $2 \cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

从 $8 \cos^{3} (t)$ 中分解出因数 $2 \cos (t)$ 。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.2.1.2

约去公因数。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.2.1.3

重写表达式。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $2 \sin (t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{{(2 (\sin (t)))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

解题步骤 3.2.2.2

对 $2 (\sin (t))$ 运用乘积法则。

$\int \frac{2^{2} \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

解题步骤 3.2.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

解题步骤 3.2.2.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.4.1

约去公因数。

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

解题步骤 3.2.2.4.2

重写表达式。

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

解题步骤 3.2.2.5

将 $\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ 转换成 $\tan^{2} (t)$ 。

$\int \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 4

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 7

因为 $\tan (t)$ 的导数为 $\sec^{2} (t)$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 的积分为 $\tan (t)$ 。

$- t + C + \tan (t) + C$

解题步骤 8

化简。

$- t + \tan (t) + C$

解题步骤 9

使用 $\arcsin (\frac{x}{2})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$- \arcsin (\frac{x}{2}) + \tan (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

解题步骤 10

重新排序项。

$- \arcsin (\frac{1}{2} x) + \tan (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$

微积分学 示例

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