微积分学示例

$\int \frac{1 - y^{2}}{3 y} d y$

解题步骤 1

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - y^{2}}{y} d y$

解题步骤 2

将 $1$ 和 $- y^{2}$ 重新排序。

$\frac{1}{3} \int \frac{- y^{2} + 1}{y} d y$

解题步骤 3

用 $- y^{2} + 1$ 除以 $y$ 。

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解题步骤 3.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$0$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

解题步骤 3.2

将被除数中的最高阶项 $- y^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

				-	$y$
	$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$

解题步骤 3.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$0$

解题步骤 3.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- y^{2} + 0$ 中的所有符号

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$

解题步骤 3.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$
						$0$

解题步骤 3.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

解题步骤 3.7

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{1}{3} \int - y + \frac{1}{y} d y$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{3} (\int - y d y + \int \frac{1}{y} d y)$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (- \int y d y + \int \frac{1}{y} d y)$

解题步骤 6

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int \frac{1}{y} d y)$

解题步骤 7

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \ln (| y |) + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{1}{3} (- (\frac{y^{2}}{2} + C) + \ln (| y |) + C)$

解题步骤 8.2

化简。

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |)) + C$

微积分学 示例

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