微积分学示例

$\int \frac{x^{4} + 8}{x^{3}} d x$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (x^{4} + 8) {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x^{4} + 8) x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (x^{4} + 8) x^{- 3} d x$

解题步骤 2

乘以 $(x^{4} + 8) x^{- 3}$ 。

$\int x^{4} x^{- 3} + 8 x^{- 3} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{- 3}$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{4 - 3} + 8 x^{- 3} d x$

解题步骤 3.1.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\int x^{1} + 8 x^{- 3} d x$

解题步骤 3.2

化简 $x^{1}$ 。

$\int x + 8 x^{- 3} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x d x + \int 8 x^{- 3} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 8 x^{- 3} d x$

解题步骤 6

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 \int x^{- 3} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

解题步骤 8.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

解题步骤 8.2

化简。

$\frac{1}{2} x^{2} + 8 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} - 8 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 8.3.2

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{- 8}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 8.3.3

约去 $- 8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 8.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.3.2.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{2})} + C$

解题步骤 8.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 8.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{- 4}{x^{2}} + C$

解题步骤 8.3.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{4}{x^{2}} + C$

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