微积分学示例

$\int \frac{\cos (x)}{\sin^{6} (x)} d x$

解题步骤 1

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u^{6}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

通过将 $u^{6}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(u^{6})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.2

将 ${(u^{6})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{6 \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.2.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\int u^{- 6} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{- 6}$ 对 $u$ 的积分是 $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ 。

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $- \frac{1}{5} u^{- 5} + C$ 重写为 $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C$ 。

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C$

解题步骤 4.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{u^{5}}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C$

解题步骤 4.2.2

将 $5$ 移到 $u^{5}$ 的左侧。

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C$

解题步骤 5

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{5 \sin^{5} (x)} + C$

解题步骤 6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{5 (\sin^{5} (x) \cdot 1)} + C$

解题步骤 6.2

分离分数。

$- (\frac{1}{5 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\sin^{5} (x)}) + C$

解题步骤 6.3

将 $\frac{1}{\sin^{5} (x)}$ 转换成 $\csc^{5} (x)$ 。

$- (\frac{1}{5 \cdot (1)} \csc^{5} (x)) + C$

解题步骤 6.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$- (\frac{1}{5} \csc^{5} (x)) + C$

解题步骤 6.5

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $\csc^{5} (x)$ 。

$- \frac{\csc^{5} (x)}{5} + C$

解题步骤 6.6

重新排序项。

$- \frac{1}{5} \csc^{5} (x) + C$

微积分学 示例

微积分学示例