微积分学示例

$\int \frac{1 + \ln (x)}{x} d x$

解题步骤 1

将分数分解成多个分数。

$\int \frac{1}{x} + \frac{\ln (x)}{x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

解题步骤 3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| x |) + C + \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

解题步骤 4

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 4.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (| x |) + C + \int u d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} u^{2} + C$

解题步骤 6

化简。

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

解题步骤 7

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

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