微积分学示例

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{\sqrt[3]{t}} d t$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{t^{\frac{1}{3}}} d t$

解题步骤 2

通过将 $t^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (27 t^{3} - 1) {(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d t$

解题步骤 3

将 ${(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d t$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{- 1}{3}} d t$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$\int (27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}} d t$

解题步骤 4

展开 $(27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int 27 t^{3} t^{- \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

解题步骤 4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 27 t^{3 - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

解题步骤 4.3

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\int 27 t^{3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

解题步骤 4.4

组合 $3$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

解题步骤 4.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.6.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int 27 t^{\frac{9 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

解题步骤 4.6.2

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

解题步骤 6

由于 $27$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $27$ 移到积分外。

$27 \int t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

解题步骤 7

根据幂法则， $t^{\frac{8}{3}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}}$ 。

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - \int t^{- \frac{1}{3}} d t$

解题步骤 9

根据幂法则， $t^{- \frac{1}{3}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}}$ 。

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - (\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C)$

解题步骤 10

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

化简。

$27 (\frac{3}{11}) t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 10.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.1

组合 $27$ 和 $\frac{3}{11}$ 。

$\frac{27 \cdot 3}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 10.2.2

将 $27$ 乘以 $3$ 。

$\frac{81}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

微积分学 示例

微积分学示例