微积分学示例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x$

解题步骤 1

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

解题步骤 2

$\cot (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sin (x) |)$ 。

$\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$

解题步骤 3

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解题步骤 3.1

计算 $\ln (| \sin (x) |)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

解题步骤 3.2

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解题步骤 3.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

解题步骤 3.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |)$

解题步骤 3.2.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

解题步骤 3.3

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解题步骤 3.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

解题步骤 3.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 约为 $0.70710678$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

解题步骤 3.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$\ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

解题步骤 3.3.4

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

小数形式：

$0.34657359 \dots$

微积分学 示例