微积分学示例

$\int \sec^{4} (5 x) d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 5 x$ 。然后使 $d u_{1} = 5 d x$ ，以便 $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 5 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $5 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

解题步骤 2

组合 $\sec^{4} (u_{1})$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\int \frac{\sec^{4} (u_{1})}{5} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} \int \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

把 $4$ 重写为 $2$ 加 $2$

$\frac{1}{5} \int {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

解题步骤 4.2

将 ${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ 重写为 $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ 。

$\frac{1}{5} \int \sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 5

使用勾股定理，将 $\sec^{2} (u_{1})$ 重写成 $1 + \tan^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{5} \int (1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6

使 $u_{2} = \tan (u_{1})$ 。然后使 $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{2} = \tan (u_{1})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $\tan (u_{1})$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

解题步骤 6.1.2

$\tan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{1})$ 。

$\sec^{2} (u_{1})$

解题步骤 6.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{5} \int 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{5} (\int d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 9

根据幂法则， ${u_{2}}^{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 。

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

解题步骤 10

化简。

$\frac{1}{5} (u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

解题步骤 11

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 11.1

使用 $\tan (u_{1})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{5} (\tan (u_{1}) + \frac{1}{3} \tan^{3} (u_{1})) + C$

解题步骤 11.2

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (5 x)) + C$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\tan^{3} (5 x)$ 。

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{\tan^{3} (5 x)}{3}) + C$

解题步骤 12.2

运用分配律。

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

解题步骤 12.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $\tan (5 x)$ 。

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

解题步骤 12.4

合并。

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1 \tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

解题步骤 12.5

化简每一项。

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解题步骤 12.5.1

将 $\tan^{3} (5 x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

解题步骤 12.5.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{15} + C$

解题步骤 13

重新排序项。

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{15} \tan^{3} (5 x) + C$

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