微积分学示例

$\int \frac{t}{t + 1} d t$

解题步骤 1

用 $t$ 除以 $t + 1$ 。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$t$

$1$

$t$

$0$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $t$ 除以除数中的最高阶项 $t$ 。

					$1$
	$t$	+	$1$		$t$	+	$0$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$0$
			+	$t$	+	$1$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $t + 1$ 中的所有符号

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$1$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$1$
					-	$1$

解题步骤 1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 1 - \frac{1}{t + 1} d t$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d t + \int - \frac{1}{t + 1} d t$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$t + C + \int - \frac{1}{t + 1} d t$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$t + C - \int \frac{1}{t + 1} d t$

解题步骤 5

使 $u = t + 1$ 。然后使 $d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = t + 1$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $t + 1$ 求导。

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $t + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 5.1.4

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$t + C - \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$t + C - (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 7

化简。

$t - \ln (| u |) + C$

解题步骤 8

使用 $t + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$t - \ln (| t + 1 |) + C$

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