微积分学示例

$\int \cot^{3} (2 x) d x$

解题步骤 1

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \cot^{3} (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $\cot^{3} (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\cot^{3} (u)}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \cot^{3} (u) d u$

解题步骤 4

应用归约公式。

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - \int \cot (u) d u)$

解题步骤 5

$\cot (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| \sin (u) |)$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - (\ln (| \sin (u) |) + C))$

解题步骤 6

将 $\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - (\ln (| \sin (u) |) + C))$ 重写为 $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (u) - \ln (| \sin (u) |)) + C$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (u) - \ln (| \sin (u) |)) + C$

解题步骤 7

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (2 x) - \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\cot^{2} (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (2 x)}{2} - \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

将 $\cot (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{2} (- \frac{{(\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

解题步骤 8.3.2

对 $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2} (- \frac{\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (| \sin (2 x) |)$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}{2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

解题步骤 8.5

化简每一项。

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解题步骤 8.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{2} (- (\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)} \cdot \frac{1}{2})) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

解题步骤 8.5.2

合并。

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{\sin^{2} (2 x) \cdot 2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

解题步骤 8.5.3

将 $\cos^{2} (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x) \cdot 2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

解题步骤 8.5.4

将 $2$ 移到 $\sin^{2} (2 x)$ 的左侧。

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \cdot \sin^{2} (2 x)}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

解题步骤 8.5.5

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \sin^{2} (2 x)})$ 。

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解题步骤 8.5.5.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \sin^{2} (2 x)}$ 。

$- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 (2 \sin^{2} (2 x))} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

解题步骤 8.5.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\cos^{2} (2 x)}{4 \sin^{2} (2 x)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

解题步骤 8.6

化简每一项。

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解题步骤 8.6.1

乘以 $1$ 。

$- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{4 \sin^{2} (2 x)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

解题步骤 8.6.2

乘以 $1$ 。

$- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{4 (\sin^{2} (2 x) \cdot 1)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

解题步骤 8.6.3

分离分数。

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

解题步骤 8.6.4

将 $\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}$ 转换成 $\cot^{2} (2 x)$ 。

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cot^{2} (2 x)) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

解题步骤 8.6.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- (\frac{1}{4} \cot^{2} (2 x)) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

解题步骤 8.6.6

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\cot^{2} (2 x)$ 。

$- \frac{\cot^{2} (2 x)}{4} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

解题步骤 9

重新排序项。

$- \frac{1}{4} \cot^{2} (2 x) - \frac{1}{2} \ln (| \sin (2 x) |) + C$

微积分学 示例

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