微积分学示例

$\int e^{\sqrt{3 x + 9}} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 3 x + 9$ 。然后使 $d u_{1} = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 3 x + 9$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $3 x + 9$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x + 9]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $3 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int e^{\sqrt{u_{1}}} \frac{1}{3} d u_{1}$

解题步骤 2

组合 $e^{\sqrt{u_{1}}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{e^{\sqrt{u_{1}}}}{3} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int e^{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

解题步骤 4

使 $u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ ，以便 $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

$\frac{1}{3} \int 2 u_{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (2 \int u_{2} e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 6

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{2}{3} \int u_{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 7

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u_{2}$ ， $dv = e^{u_{2}}$ 。

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 8

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - (e^{u_{2}} + C))$

解题步骤 9

化简。

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - e^{u_{2}}) + C$

解题步骤 10

代回替换每一个积分法替换变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

使用 $\sqrt{u_{1}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{2}{3} (\sqrt{u_{1}} e^{\sqrt{u_{1}}} - e^{\sqrt{u_{1}}}) + C$

解题步骤 10.2

使用 $3 x + 9$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}} - e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

解题步骤 11

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

解题步骤 11.2

从 $3 x + 9$ 中分解出因数 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x) + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

解题步骤 11.2.2

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 3 \cdot 3} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

解题步骤 11.2.3

从 $3 x + 3 \cdot 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

解题步骤 11.3

从 $3 x + 9$ 中分解出因数 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x) + 9}}) + C$

解题步骤 11.3.2

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}) + C$

解题步骤 11.3.3

从 $3 x + 3 \cdot 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

解题步骤 11.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.1

从 $3 x + 9$ 中分解出因数 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.1.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x) + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

解题步骤 11.4.1.2

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

解题步骤 11.4.1.3

从 $3 x + 3 \cdot 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

解题步骤 11.4.2

乘以 $\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.2.1

组合 $\sqrt{3 (x + 3)}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2}{3} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

解题步骤 11.4.2.2

组合 $\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2}{3}$ 和 $e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ 。

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

解题步骤 11.4.3

将 $2$ 移到 $\sqrt{3 (x + 3)}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

解题步骤 11.4.4

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} - \frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

解题步骤 11.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

解题步骤 11.6

从 $2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ 中分解出因数 $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.6.1

从 $2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ 中分解出因数 $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ 。

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

解题步骤 11.6.2

从 $- 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ 中分解出因数 $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ 。

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) + 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (- 1)}{3} + C$

解题步骤 11.6.3

从 $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) + 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (- 1)$ 中分解出因数 $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ 。

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)} - 1)}{3} + C$

微积分学 示例

微积分学示例