微积分学示例

$\int e^{x} \sin (4 x) d x$

解题步骤 1

将 $e^{x}$ 和 $\sin (4 x)$ 重新排序。

$\int \sin (4 x) e^{x} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (4 x)$ ， $d v = e^{x}$ 。

$\sin (4 x) e^{x} - \int e^{x} (4 \cos (4 x)) d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\sin (4 x) e^{x} - (4 \int e^{x} (\cos (4 x)) d x)$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\sin (4 x) e^{x} - 4 \int e^{x} (\cos (4 x)) d x$

解题步骤 4.2

将 $e^{x}$ 和 $\cos (4 x)$ 重新排序。

$\sin (4 x) e^{x} - 4 \int \cos (4 x) e^{x} d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (4 x)$ ， $d v = e^{x}$ 。

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x} - \int e^{x} (- 4 \sin (4 x)) d x)$

解题步骤 6

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x} - (- 4 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x))$

解题步骤 7

通过相乘进行化简。

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解题步骤 7.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x} + 4 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x)$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x}) - 4 (4 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x)$

解题步骤 7.3

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x}) - 16 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x$

解题步骤 8

求解 $\int e^{x} \sin (4 x) d x$ ，我们发现 $\int e^{x} \sin (4 x) d x$ = $\frac{\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x})}{17}$ 。

$\frac{\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x})}{17} + C$

解题步骤 9

将 $\frac{\sin (4 x) e^{x} - 4 \cos (4 x) e^{x}}{17} + C$ 重写为 $\frac{1}{17} (\sin (4 x) e^{x} - 4 \cos (4 x) e^{x}) + C$ 。

$\frac{1}{17} (\sin (4 x) e^{x} - 4 \cos (4 x) e^{x}) + C$

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