微积分学示例

$\int_{\frac{π}{2}}^{2 π} x \sin (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (x)$ 。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} - \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} - \cos (x) d x$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} - - \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

解题步骤 3.2

将 $\int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$ 和 $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$ 。

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ 在 $2 π$ 处和在 $\frac{π}{2}$ 处的值。

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 5.2.2.2

组合 $\frac{π}{2}$ 和 $\cos (\frac{π}{2})$ 。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 5.3.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)$

解题步骤 5.3.3

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{0}{2} + 1)$

解题步骤 5.3.4

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 (0)}{2} + 1)$

解题步骤 5.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)$

解题步骤 5.3.4.2.2

约去公因数。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)$

解题步骤 5.3.4.2.3

重写表达式。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{0}{1} + 1)$

解题步骤 5.3.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- 0 + 1)$

解题步骤 5.3.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (0 + 1)$

解题步骤 5.3.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 1$

解题步骤 5.4

化简。

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解题步骤 5.4.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π) - 1$

解题步骤 5.4.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π) - 1$

解题步骤 5.4.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 π + \sin (2 π) - 1$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 2 π + \sin (0) - 1$

解题步骤 6.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 2 π + 0 - 1$

解题步骤 6.2

将 $- 2 π$ 和 $0$ 相加。

$- 2 π - 1$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 2 π - 1$

小数形式：

$- 7.28318530 \dots$

微积分学 示例

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