微积分学示例

$\int_{\frac{π}{3}}^{2 π} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{\frac{π}{3}}^{2 π} \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

解题步骤 2

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.3

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \cos (2 π)$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$u_{upper} = \cos (0)$

解题步骤 2.5.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$3 \int_{\frac{1}{2}}^{1} - u^{2} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (- \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{2} d u)$

解题步骤 4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{2} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$- 3 (\frac{1}{3} u^{3}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$- 3 (\frac{u^{3}}{3}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{u^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $\frac{1}{2}$ 处的值。

$- 3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1}{2})}^{3}}{3})$

解题步骤 7.2

一的任意次幂都为一。

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{3}}{3})$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

在公分母上合并分子。

$- 3 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{3}}{3}$

解题步骤 8.2

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$- 3 \frac{1 - \frac{1^{3}}{2^{3}}}{3}$

解题步骤 8.2.2

一的任意次幂都为一。

$- 3 \frac{1 - \frac{1}{2^{3}}}{3}$

解题步骤 8.2.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 3 \frac{1 - \frac{1}{8}}{3}$

解题步骤 8.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- 3 \frac{\frac{8}{8} - \frac{1}{8}}{3}$

解题步骤 8.4

在公分母上合并分子。

$- 3 \frac{\frac{8 - 1}{8}}{3}$

解题步骤 8.5

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$- 3 \frac{\frac{7}{8}}{3}$

解题步骤 8.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.6.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- 1) \frac{\frac{7}{8}}{3}$

解题步骤 8.6.2

约去公因数。

$3 \cdot - 1 \frac{\frac{7}{8}}{3}$

解题步骤 8.6.3

重写表达式。

$- \frac{7}{8}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{7}{8}$

小数形式：

$- 0.875$

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