微积分学示例

$\int e^{- 3 x} \sin (5 x) d x$

解题步骤 1

将 $e^{- 3 x}$ 和 $\sin (5 x)$ 重新排序。

$\int \sin (5 x) e^{- 3 x} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (5 x)$ ， $d v = e^{- 3 x}$ 。

$\sin (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (5 \cos (5 x)) d x$

解题步骤 3

由于 $- \frac{1}{3} \cdot 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{3} \cdot 5$ 移到积分外。

$\sin (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - (- \frac{1}{3} \cdot 5 \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

组合 $e^{- 3 x}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\sin (5 x) (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - (- \frac{1}{3} \cdot 5 \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

解题步骤 4.2

组合 $\sin (5 x)$ 和 $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ 。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 5 \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

解题步骤 4.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (- 5 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

解题步骤 4.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

解题步骤 4.5

将 $e^{- 3 x}$ 和 $\cos (5 x)$ 重新排序。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} \int \cos (5 x) e^{- 3 x} d x)$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (5 x)$ ， $d v = e^{- 3 x}$ 。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (\cos (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (- 5 \sin (5 x)) d x))$

解题步骤 6

由于 $- \frac{1}{3} \cdot - 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{3} \cdot - 5$ 移到积分外。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (\cos (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - (- \frac{1}{3} \cdot - 5 \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

组合 $e^{- 3 x}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (\cos (5 x) (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - (- \frac{1}{3} \cdot - 5 \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

解题步骤 7.2

组合 $\cos (5 x)$ 和 $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ 。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot - 5 \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

解题步骤 7.3

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (5 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

解题步骤 7.4

组合 $5$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

解题步骤 7.5

运用分配律。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3}) - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

解题步骤 7.6

乘。

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解题步骤 7.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + 1 (\frac{- 5}{3}) \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

解题步骤 7.6.2

将 $\frac{- 5}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5}{3} \cdot \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

解题步骤 7.7

将 $\frac{- 5}{3}$ 乘以 $\frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3}$ 。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{3 \cdot 3} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

解题步骤 7.8

乘。

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解题步骤 7.8.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

解题步骤 7.8.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + 1 (\frac{- 5}{3}) (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)$

解题步骤 7.8.3

将 $\frac{- 5}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 5}{3} (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)$

解题步骤 7.9

将 $\frac{5}{3}$ 乘以 $\frac{- 5}{3}$ 。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{5 \cdot - 5}{3 \cdot 3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x$

解题步骤 7.10

乘。

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解题步骤 7.10.1

将 $5$ 乘以 $- 5$ 。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 25}{3 \cdot 3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x$

解题步骤 7.10.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 25}{9} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x$

解题步骤 8

求解 $\int e^{- 3 x} \sin (5 x) d x$ ，我们发现 $\int e^{- 3 x} \sin (5 x) d x$ = $\frac{- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9}}{\frac{34}{9}}$ 。

$\frac{- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9}}{\frac{34}{9}} + C$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{5 \cos (5 x) e^{- 3 x}}{9}}{\frac{34}{9}} + C$

解题步骤 9.1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{34}{9}$ 。

$(- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{5 \cos (5 x) e^{- 3 x}}{9}) \frac{9}{34} + C$

解题步骤 9.2

将 $(- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{5 \cos (5 x) e^{- 3 x}}{9}) \frac{9}{34} + C$ 重写为 $(- \frac{1}{3} \sin (5 x) e^{- 3 x} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$ 。

$(- \frac{1}{3} \sin (5 x) e^{- 3 x} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

组合 $\sin (5 x)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$(- \frac{\sin (5 x)}{3} e^{- 3 x} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

解题步骤 9.3.2

组合 $e^{- 3 x}$ 和 $\frac{\sin (5 x)}{3}$ 。

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

解题步骤 9.3.3

组合 $\cos (5 x)$ 和 $\frac{5}{9}$ 。

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{9} e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

解题步骤 9.3.4

组合 $e^{- 3 x}$ 和 $\frac{\cos (5 x) \cdot 5}{9}$ 。

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{9}) \frac{9}{34} + C$

解题步骤 9.3.5

将 $5$ 移到 $\cos (5 x)$ 的左侧。

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (5 \cos (5 x))}{9}) \frac{9}{34} + C$

解题步骤 9.4

化简。

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解题步骤 9.4.1

化简分子。

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解题步骤 9.4.1.1

重写。

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{9}) \frac{9}{34} + C$

解题步骤 9.4.1.2

将 $5$ 移到 $\cos (5 x)$ 的左侧。

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (5 \cdot \cos (5 x))}{9}) \frac{9}{34} + C$

解题步骤 9.4.1.3

去掉多余的括号。

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} \cdot 5 \cos (5 x)}{9}) \frac{9}{34} + C$

解题步骤 9.4.2

将 $5$ 移到 $e^{- 3 x}$ 的左侧。

$(- \frac{1}{3} e^{- 3 x} \sin (5 x) - \frac{5}{9} e^{- 3 x} \cos (5 x)) \frac{9}{34} + C$

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