微积分学示例

$\int \sqrt{5 + 4 x - x^{2}} d x$

解题步骤 1

配方。

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解题步骤 1.1

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1

移动 $5$ 。

$4 x - x^{2} + 5$

解题步骤 1.1.2

将 $4 x$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$- x^{2} + 4 x + 5$

解题步骤 1.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 5$

解题步骤 1.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.1

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 1.4.2.1.2

移动 $\frac{2}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 2$

解题步骤 1.4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$d = - 2$

解题步骤 1.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 5 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.1.1

约去 $4^{2}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1.1.1

从 $4^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.2.1.1.2

移动 $\frac{4}{- 1}$ 中分母的负号。

$e = 5 - (- 1 \cdot 4)$

解题步骤 1.5.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 4)$ 。

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解题步骤 1.5.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = 5 - - 4$

解题步骤 1.5.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$e = 5 + 4$

解题步骤 1.5.2.2

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$e = 9$

解题步骤 1.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(x - 2)}^{2} + 9$ 。

$\int \sqrt{- {(x - 2)}^{2} + 9} d x$

解题步骤 2

使 $u_{1} = x - 2$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{1} = x - 2$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.1.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 9} d u_{1}$

解题步骤 3

使 $u_{1} = 3 \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 3 \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $3 \cos (t)$ 为正数。

$\int \sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

化简 $\sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9}$ 。

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解题步骤 4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1.1

对 $3 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int \sqrt{- (3^{2} \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4.1.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \sqrt{- (9 \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4.1.1.3

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \sqrt{- 9 \sin^{2} (t) + 9} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4.1.2

将 $- 9 \sin^{2} (t)$ 和 $9$ 重新排序。

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4.1.3

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4.1.4

从 $- 9 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4.1.5

从 $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4.1.6

使用勾股恒等式。

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4.1.7

将 $9 \cos^{2} (t)$ 重写为 ${(3 \cos (t))}^{2}$ 。

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

解题步骤 4.2.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

解题步骤 4.2.3

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

解题步骤 4.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

解题步骤 4.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 5

由于 $9$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 6

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (t)$ 的形式。

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $9$ 。

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

解题步骤 11

使 $u_{2} = 2 t$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设 $u_{2} = 2 t$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d t}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 11.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 11.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 11.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

解题步骤 12

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 13

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 14

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

解题步骤 15

化简。

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

解题步骤 16

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 16.1

使用 $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

解题步骤 16.2

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

解题步骤 16.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

解题步骤 16.4

使用 $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{u_{1}}{3}))) + C$

解题步骤 16.5

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))) + C$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))$ 。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}) + C$

解题步骤 17.2

运用分配律。

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

解题步骤 17.3

组合 $\frac{9}{2}$ 和 $\arcsin (\frac{x - 2}{3})$ 。

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

解题步骤 17.4

乘以 $\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ 。

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解题步骤 17.4.1

将 $\frac{9}{2}$ 乘以 $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ 。

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 17.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{4} + C$

解题步骤 18

重新排序项。

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2))) + C$

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