微积分学示例

$\int x^{3} \cos (3 x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{3}$ ， $d v = \cos (3 x)$ 。

$x^{3} (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) (3 x^{2}) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sin (3 x)$ 。

$x^{3} \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) (3 x^{2}) d x$

解题步骤 2.2

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{\sin (3 x)}{3}$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) (3 x^{2}) d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3} \cdot 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3} \cdot 3$ 移到积分外。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 3 \int \sin (3 x) (x^{2}) d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (\frac{3}{3} \int \sin (3 x) (x^{2}) d x)$

解题步骤 4.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (\frac{3}{3} \int \sin (3 x) (x^{2}) d x)$

解题步骤 4.2.2

重写表达式。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (1 \int \sin (3 x) (x^{2}) d x)$

解题步骤 4.3

将 $\int \sin (3 x) (x^{2}) d x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - \int \sin (3 x) (x^{2}) d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = \sin (3 x)$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (x^{2} (- \frac{1}{3} \cos (3 x)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\cos (3 x)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (x^{2} (- \frac{\cos (3 x)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x)$

解题步骤 6.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{\cos (3 x)}{3}$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x)$

解题步骤 6.3

组合 $\cos (3 x)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{\cos (3 x)}{3} (2 x) d x)$

解题步骤 6.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - \int - 2 \frac{\cos (3 x)}{3} x d x)$

解题步骤 6.5

组合 $- 2$ 和 $\frac{\cos (3 x)}{3}$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - \int \frac{- 2 \cos (3 x)}{3} x d x)$

解题步骤 6.6

组合 $\frac{- 2 \cos (3 x)}{3}$ 和 $x$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - \int \frac{- 2 \cos (3 x) x}{3} d x)$

解题步骤 6.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{2 \cos (3 x) x}{3} d x)$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - - \int \frac{2 \cos (3 x) x}{3} d x)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + 1 \int \frac{2 \cos (3 x) x}{3} d x)$

解题步骤 8.2

将 $\int \frac{2 \cos (3 x) x}{3} d x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \int \frac{2 \cos (3 x) x}{3} d x)$

解题步骤 9

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} \int \cos (3 x) x d x)$

解题步骤 10

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \cos (3 x)$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sin (3 x)$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x))$

解题步骤 11.2

组合 $x$ 和 $\frac{\sin (3 x)}{3}$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x))$

解题步骤 11.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sin (3 x)$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{\sin (3 x)}{3} d x))$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x)))$

解题步骤 13

使 $u = 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 13.1

设 $u = 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 13.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 13.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 13.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 13.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u))$

解题步骤 14

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u))$

解题步骤 15

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)))$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u))$

解题步骤 16.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u))$

解题步骤 17

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)))$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

将 $\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)))$ 重写为 $\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2 x \sin (3 x)}{9} + \frac{2 \cos (u)}{27}) + C$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2 x \sin (3 x)}{9} + \frac{2 \cos (u)}{27}) + C$

解题步骤 18.2

化简。

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解题步骤 18.2.1

要将 $- (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2 x \sin (3 x)}{9} + \frac{2 \cos (u)}{27})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2 x \sin (3 x)}{9} + \frac{2 \cos (u)}{27}) \cdot \frac{3}{3} + C$

解题步骤 18.2.2

组合 $- (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2 x \sin (3 x)}{9} + \frac{2 \cos (u)}{27})$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} + \frac{- (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2 x \sin (3 x)}{9} + \frac{2 \cos (u)}{27}) \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 18.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2 x \sin (3 x)}{9} + \frac{2 \cos (u)}{27}) \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 18.2.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - 3 (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2 x \sin (3 x)}{9} + \frac{2 \cos (u)}{27})}{3} + C$

解题步骤 19

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - 3 (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2 x \sin (3 x)}{9} + \frac{2 \cos (3 x)}{27})}{3} + C$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

运用分配律。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - 3 (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3}) - 3 \frac{2 x \sin (3 x)}{9} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

解题步骤 20.2

化简。

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解题步骤 20.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.1.1

将 $- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - 3 \frac{- x^{2} \cos (3 x)}{3} - 3 \frac{2 x \sin (3 x)}{9} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

解题步骤 20.2.1.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + 3 (- 1) \frac{- x^{2} \cos (3 x)}{3} - 3 \frac{2 x \sin (3 x)}{9} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

解题步骤 20.2.1.3

约去公因数。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + 3 \cdot - 1 \frac{- x^{2} \cos (3 x)}{3} - 3 \frac{2 x \sin (3 x)}{9} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

解题步骤 20.2.1.4

重写表达式。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - (- x^{2} \cos (3 x)) - 3 \frac{2 x \sin (3 x)}{9} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

解题步骤 20.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + 1 (x^{2} \cos (3 x)) - 3 \frac{2 x \sin (3 x)}{9} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

解题步骤 20.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + x^{2} \cos (3 x) - 3 \frac{2 x \sin (3 x)}{9} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

解题步骤 20.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.4.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + x^{2} \cos (3 x) + 3 (- 1) \frac{2 x \sin (3 x)}{9} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

解题步骤 20.2.4.2

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + x^{2} \cos (3 x) + 3 \cdot - 1 \frac{2 x \sin (3 x)}{3 \cdot 3} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

解题步骤 20.2.4.3

约去公因数。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + x^{2} \cos (3 x) + 3 \cdot - 1 \frac{2 x \sin (3 x)}{3 \cdot 3} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

解题步骤 20.2.4.4

重写表达式。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + x^{2} \cos (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

解题步骤 20.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.5.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + x^{2} \cos (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + 3 (- 1) \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

解题步骤 20.2.5.2

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + x^{2} \cos (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + 3 \cdot - 1 \frac{2 \cos (3 x)}{3 \cdot 9}}{3} + C$

解题步骤 20.2.5.3

约去公因数。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + x^{2} \cos (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + 3 \cdot - 1 \frac{2 \cos (3 x)}{3 \cdot 9}}{3} + C$

解题步骤 20.2.5.4

重写表达式。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + x^{2} \cos (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} - \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.3

要将 $x^{2} \cos (3 x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + x^{2} \cos (3 x) \cdot \frac{9}{9} - \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.4

组合 $x^{2} \cos (3 x)$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{x^{2} \cos (3 x) \cdot 9}{9} - \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.5

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 - 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.6

化简分子。

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解题步骤 20.6.1

从 $x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 - 2 \cos (3 x)$ 中分解出因数 $\cos (3 x)$ 。

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解题步骤 20.6.1.1

从 $x^{2} \cos (3 x) \cdot 9$ 中分解出因数 $\cos (3 x)$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x) (x^{2} \cdot 9) - 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.6.1.2

从 $- 2 \cos (3 x)$ 中分解出因数 $\cos (3 x)$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x) (x^{2} \cdot 9) + \cos (3 x) \cdot - 2}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.6.1.3

从 $\cos (3 x) (x^{2} \cdot 9) + \cos (3 x) \cdot - 2$ 中分解出因数 $\cos (3 x)$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x) (x^{2} \cdot 9 - 2)}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.6.2

将 $9$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x) (9 x^{2} - 2)}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.7

要将 $- \frac{2 x \sin (3 x)}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\cos (3 x) (9 x^{2} - 2)}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9$ 的形式。

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解题步骤 20.8.1

将 $\frac{2 x \sin (3 x)}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{\cos (3 x) (9 x^{2} - 2)}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.8.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3}{9} + \frac{\cos (3 x) (9 x^{2} - 2)}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.9

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- 2 x \sin (3 x) \cdot 3 + \cos (3 x) (9 x^{2} - 2)}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.10

化简分子。

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解题步骤 20.10.1

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- 6 x \sin (3 x) + \cos (3 x) (9 x^{2} - 2)}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.10.2

运用分配律。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- 6 x \sin (3 x) + \cos (3 x) (9 x^{2}) + \cos (3 x) \cdot - 2}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.10.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- 6 x \sin (3 x) + 9 \cos (3 x) x^{2} + \cos (3 x) \cdot - 2}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.10.4

将 $- 2$ 移到 $\cos (3 x)$ 的左侧。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- 6 x \sin (3 x) + 9 \cos (3 x) x^{2} - 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.11

从 $- 6 x \sin (3 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- (6 x \sin (3 x)) + 9 \cos (3 x) x^{2} - 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.12

从 $9 \cos (3 x) x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- (6 x \sin (3 x)) - (- 9 \cos (3 x) x^{2}) - 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.13

从 $- (6 x \sin (3 x)) - (- 9 \cos (3 x) x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- (6 x \sin (3 x) - 9 \cos (3 x) x^{2}) - 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.14

从 $- 2 \cos (3 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- (6 x \sin (3 x) - 9 \cos (3 x) x^{2}) - (2 \cos (3 x))}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.15

从 $- (6 x \sin (3 x) - 9 \cos (3 x) x^{2}) - (2 \cos (3 x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- (6 x \sin (3 x) - 9 \cos (3 x) x^{2} + 2 \cos (3 x))}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.16

将 $- (6 x \sin (3 x) - 9 \cos (3 x) x^{2} + 2 \cos (3 x))$ 重写为 $- 1 (6 x \sin (3 x) - 9 \cos (3 x) x^{2} + 2 \cos (3 x))$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- 1 (6 x \sin (3 x) - 9 \cos (3 x) x^{2} + 2 \cos (3 x))}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.17

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{6 x \sin (3 x) - 9 \cos (3 x) x^{2} + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

解题步骤 20.18

将 $- \frac{6 x \sin (3 x) - 9 \cos (3 x) x^{2} + 2 \cos (3 x)}{9}$ 中的因式重新排序。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

解题步骤 21

化简。

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解题步骤 21.1

化简分子。

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解题步骤 21.1.1

要将 $x^{3} \sin (3 x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{x^{3} \sin (3 x) \cdot \frac{9}{9} - \frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

解题步骤 21.1.2

组合 $x^{3} \sin (3 x)$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{\frac{x^{3} \sin (3 x) \cdot 9}{9} - \frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

解题步骤 21.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{3} \sin (3 x) \cdot 9 - (6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x))}{9}}{3} + C$

解题步骤 21.1.4

以因式分解的形式重写 $\frac{x^{3} \sin (3 x) \cdot 9 - (6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x))}{9}$ 。

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解题步骤 21.1.4.1

将 $9$ 移到 $x^{3} \sin (3 x)$ 的左侧。

$\frac{\frac{9 \cdot (x^{3} \sin (3 x)) - (6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x))}{9}}{3} + C$

解题步骤 21.1.4.2

运用分配律。

$\frac{\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - (6 x \sin (3 x)) - (- 9 x^{2} \cos (3 x)) - (2 \cos (3 x))}{9}}{3} + C$

解题步骤 21.1.4.3

化简。

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解题步骤 21.1.4.3.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - 6 (x \sin (3 x)) - (- 9 x^{2} \cos (3 x)) - (2 \cos (3 x))}{9}}{3} + C$

解题步骤 21.1.4.3.2

将 $- 9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - 6 (x \sin (3 x)) + 9 (x^{2} \cos (3 x)) - (2 \cos (3 x))}{9}}{3} + C$

解题步骤 21.1.4.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - 6 (x \sin (3 x)) + 9 (x^{2} \cos (3 x)) - 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

解题步骤 21.1.4.4

化简每一项。

$\frac{\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - 6 x \sin (3 x) + 9 x^{2} \cos (3 x) - 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

解题步骤 21.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - 6 x \sin (3 x) + 9 x^{2} \cos (3 x) - 2 \cos (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3} + C$

解题步骤 21.3

乘以 $\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - 6 x \sin (3 x) + 9 x^{2} \cos (3 x) - 2 \cos (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 21.3.1

将 $\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - 6 x \sin (3 x) + 9 x^{2} \cos (3 x) - 2 \cos (3 x)}{9}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - 6 x \sin (3 x) + 9 x^{2} \cos (3 x) - 2 \cos (3 x)}{9 \cdot 3} + C$

解题步骤 21.3.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - 6 x \sin (3 x) + 9 x^{2} \cos (3 x) - 2 \cos (3 x)}{27} + C$

解题步骤 21.4

重新排序项。

$\frac{1}{27} (9 x^{3} \sin (3 x) - 6 x \sin (3 x) + 9 x^{2} \cos (3 x) - 2 \cos (3 x)) + C$

微积分学 示例

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