微积分学示例

$\int \frac{x}{{(7 x^{2} + 3)}^{5}} d x d x$

解题步骤 1

使 $u = 7 x^{2} + 3$ 。然后使 $d u = 14 x d x$ ，以便 $\frac{1}{14} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 7 x^{2} + 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $7 x^{2} + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $7 x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$14 x + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$14 x + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $14 x$ 和 $0$ 相加。

$14 x$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{14} d u d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{u^{5}}$ 乘以 $\frac{1}{14}$ 。

$\int \frac{1}{u^{5} \cdot 14} d u d x$

解题步骤 2.2

将 $14$ 移到 $u^{5}$ 的左侧。

$\int \frac{1}{14 u^{5}} d u d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{14}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{14}$ 移到积分外。

$\frac{1}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u d x$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

化简。

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解题步骤 4.1.1

组合 $d$ 和 $\frac{1}{14}$ 。

$\frac{d}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u x$

解题步骤 4.1.2

组合 $x$ 和 $\frac{d}{14}$ 。

$\frac{x d}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

解题步骤 4.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.2.1

通过将 $u^{5}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{x d}{14} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.2.2

将 ${(u^{5})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x d}{14} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.2.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x d}{14} \int u^{- 5} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{- 5}$ 对 $u$ 的积分是 $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ 。

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简。

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解题步骤 6.1.1

组合 $u^{- 4}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{x d}{14} (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

解题步骤 6.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $u^{- 4}$ 移动到分母。

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

解题步骤 6.2

将 $\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$ 重写为 $\frac{1}{14} x d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$ 。

$\frac{1}{14} x d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

组合 $\frac{1}{14}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{14} d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

解题步骤 6.3.2

组合 $\frac{x}{14}$ 和 $d$ 。

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

解题步骤 6.3.3

将 $\frac{x d}{14}$ 乘以 $\frac{1}{4 u^{4}}$ 。

$- \frac{x d}{14 (4 u^{4})} + C$

解题步骤 6.3.4

将 $4$ 乘以 $14$ 。

$- \frac{x d}{56 u^{4}} + C$

解题步骤 7

使用 $7 x^{2} + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{x d}{56 {(7 x^{2} + 3)}^{4}} + C$

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