微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

解题步骤 1

化简表达式。

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解题步骤 1.1

把 $4$ 重写为 $2$ 加 $2$

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

解题步骤 1.2

将 ${\sec (x)}^{2 + 2}$ 重写为 $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 2

使用勾股定理，将 $\sec^{2} (x)$ 重写成 $1 + \tan^{2} (x)$ 的形式。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 3

使 $u = \tan (x)$ 。然后使 $d u = \sec^{2} (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = \tan (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $\tan (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 3.1.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x)$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = \tan (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \tan (0)$

解题步骤 3.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = \tan (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

解题步骤 3.5

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$u_{upper} = \sqrt{3}$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} (1 + u^{2}) d u$

解题步骤 4

乘以 $u^{5} (1 + u^{2})$ 。

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} \cdot 1 + u^{5} u^{2} d u$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $u^{5}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

解题步骤 5.2

通过指数相加将 $u^{5}$ 乘以 $u^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5 + 2} d u$

解题步骤 5.2.2

将 $5$ 和 $2$ 相加。

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{7} d u$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} d u + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{5}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{6} u^{6}$ 。

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{7}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{8} u^{8}$ 。

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}}$ 和 $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}$ 在 $\sqrt{3}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{6} {\sqrt{3}}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8}) - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

将 ${\sqrt{3}}^{6}$ 重写为 $3^{3}$ 。

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解题步骤 10.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{6} {(3^{\frac{1}{2}})}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{6}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.1.4

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{3}{1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.1.4.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{6} \cdot 3^{3} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{6} \cdot 27 + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.3

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $27$ 。

$\frac{27}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.4

约去 $27$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (9)}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.4.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.4.2.3

重写表达式。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.5

将 ${\sqrt{3}}^{8}$ 重写为 $3^{4}$ 。

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解题步骤 10.2.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {(3^{\frac{1}{2}})}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $8$ 。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{8}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.5.4

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.5.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.5.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.5.4.2.2

约去公因数。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.5.4.2.3

重写表达式。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{4}{1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.5.4.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{4} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.6

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 81 - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.7

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $81$ 。

$\frac{9}{2} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.8

要将 $\frac{9}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.9

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 10.2.9.1

将 $\frac{9}{2}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.9.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{9 \cdot 4}{8} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.10

在公分母上合并分子。

$\frac{9 \cdot 4 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.11

化简分子。

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解题步骤 10.2.11.1

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$\frac{36 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.11.2

将 $36$ 和 $81$ 相加。

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.12

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.13

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

解题步骤 10.2.14

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0)$

解题步骤 10.2.15

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{117}{8} - (0 + 0)$

解题步骤 10.2.16

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{117}{8} - 0$

解题步骤 10.2.17

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{117}{8} + 0$

解题步骤 10.2.18

将 $\frac{117}{8}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{117}{8}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{117}{8}$

小数形式：

$14.625$

带分数形式：

$14 \frac{5}{8}$

微积分学 示例

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