微积分学示例

$\int_{25}^{36} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

解题步骤 1

将 $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ 重写为乘积形式。

$\int_{25}^{36} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (y)$ ， $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ 。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y$

解题步骤 3.2

组合 $y^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{y}$ 。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y$

解题步骤 3.3

将 $2$ 移到 $y^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y$

解题步骤 3.4

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $y^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y$

解题步骤 3.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

解题步骤 3.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y$

解题步骤 3.5.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

解题步骤 3.5.3

在公分母上合并分子。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y$

解题步骤 3.5.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - (2 \int_{25}^{36} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - 2 \int_{25}^{36} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

解题步骤 5.2

通过将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - 2 \int_{25}^{36} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

解题步骤 5.3

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - 2 \int_{25}^{36} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

解题步骤 5.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - 2 \int_{25}^{36} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

解题步骤 5.3.3

将负号移到分数的前面。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - 2 \int_{25}^{36} y^{- \frac{1}{2}} d y$

解题步骤 6

根据幂法则， $y^{- \frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{25}^{36})$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ 在 $36$ 处和在 $25$ 处的值。

$(\ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{25}^{36})$

解题步骤 7.2

计算 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 在 $36$ 处和在 $25$ 处的值。

$(\ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\ln (36) (2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (36) (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.3.1

约去公因数。

$\ln (36) (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.3.2

重写表达式。

$\ln (36) (2 \cdot 6^{1}) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.4

计算指数。

$\ln (36) (2 \cdot 6) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.5

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\ln (36) \cdot 12 - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.6

将 $12$ 移到 $\ln (36)$ 的左侧。

$12 \cdot \ln (36) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.7

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$12 \ln (36) - \ln (25) (2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.8

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 \ln (36) - \ln (25) (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.9.1

约去公因数。

$12 \ln (36) - \ln (25) (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.9.2

重写表达式。

$12 \ln (36) - \ln (25) (2 \cdot 5^{1}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.10

计算指数。

$12 \ln (36) - \ln (25) (2 \cdot 5) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.11

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$12 \ln (36) - \ln (25) \cdot 10 - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.12

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.13

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.14

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.15

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.15.1

约去公因数。

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.15.2

重写表达式。

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 6^{1} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.16

计算指数。

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 6 - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.17

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (12 - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.18

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (12 - 2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.19

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (12 - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})})$

解题步骤 7.3.20

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.20.1

约去公因数。

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (12 - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})})$

解题步骤 7.3.20.2

重写表达式。

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (12 - 2 \cdot 5^{1})$

解题步骤 7.3.21

计算指数。

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (12 - 2 \cdot 5)$

解题步骤 7.3.22

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (12 - 10)$

解题步骤 7.3.23

从 $12$ 中减去 $10$ 。

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 \cdot 2$

解题步骤 7.3.24

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 4$

解题步骤 8

化简每一项。

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解题步骤 8.1

将 $\ln (25)$ 重写为 $\ln (5^{2})$ 。

$12 \ln (36) - 10 \ln (5^{2}) - 4$

解题步骤 8.2

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (5^{2})$ 。

$12 \ln (36) - 10 (2 \ln (5)) - 4$

解题步骤 8.3

将 $2$ 乘以 $- 10$ 。

$12 \ln (36) - 20 \ln (5) - 4$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$12 \ln (36) - 20 \ln (5) - 4$

小数形式：

$6.81346901 \dots$

微积分学 示例

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