微积分学示例

$\int 4 \sin^{2} (x) d x$

解题步骤 1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \sin^{2} (x) d x$

解题步骤 2

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (x)$ 的形式。

$4 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

解题步骤 4.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 x) d x$

解题步骤 4.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 x) d x$

解题步骤 4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1} \int 1 - \cos (2 x) d x$

解题步骤 4.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \int 1 - \cos (2 x) d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$2 (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$2 (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

解题步骤 8

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 8.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 8.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 9

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

解题步骤 11

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$2 (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

解题步骤 12

化简。

$2 (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 13

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

组合 $\sin (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

解题步骤 14.2

运用分配律。

$2 x + 2 (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

解题步骤 14.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.1

将 $- \frac{\sin (2 x)}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$2 x + 2 \frac{- \sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 14.3.2

约去公因数。

$2 x + 2 \frac{- \sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 14.3.3

重写表达式。

$2 x - \sin (2 x) + C$

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