微积分学示例

$y = \sqrt[3]{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

解题步骤 1.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

解题步骤 1.7

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

解题步骤 1.8

化简。

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解题步骤 1.8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.8.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

解题步骤 2.2.2

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

解题步骤 2.2.2.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

解题步骤 2.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 2.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{2}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

解题步骤 2.7.2

从 $- 2$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

解题步骤 2.8

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

解题步骤 2.9

组合 $x^{- \frac{5}{3}}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

解题步骤 2.10

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

解题步骤 2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.11.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{9}$

解题步骤 2.11.2

将 $2$ 移到 $x^{- \frac{5}{3}}$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

解题步骤 2.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{5}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $- \frac{2}{9}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{2}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$ 。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ 。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$

解题步骤 3.2.2

将 ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.2.2.2

乘以 $\frac{5}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.2.2.2.1

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $- 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{5 \cdot - 1}{3}}$

解题步骤 3.2.2.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 5}{3}}$

解题步骤 3.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{5}{3}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{5}{3}$ 。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1})$

解题步骤 3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 3.7

化简分子。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 3}{3}})$

解题步骤 3.7.2

从 $- 5$ 中减去 $3$ 。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 8}{3}})$

解题步骤 3.8

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{8}{3}})$

解题步骤 3.9

组合 $x^{- \frac{8}{3}}$ 和 $\frac{5}{3}$ 。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3})$

解题步骤 3.10

乘。

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解题步骤 3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = 1 (\frac{2}{9}) \cdot \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$

解题步骤 3.10.2

将 $\frac{2}{9}$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = \frac{2}{9} \cdot \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$

解题步骤 3.11

将 $\frac{2}{9}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$ 。

$f''' (x) = \frac{2 (x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5)}{9 \cdot 3}$

解题步骤 3.12

乘。

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解题步骤 3.12.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = \frac{10 x^{- \frac{8}{3}}}{9 \cdot 3}$

解题步骤 3.12.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = \frac{10 x^{- \frac{8}{3}}}{27}$

解题步骤 3.12.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{8}{3}}$ 移动到分母。

$f''' (x) = \frac{10}{27 x^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $\frac{10}{27}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{10}{27 x^{\frac{8}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{10}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}}]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}})$

解题步骤 4.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1})$

解题步骤 4.2.2

将 ${(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{8}{3} \cdot - 1})$

解题步骤 4.2.2.2

乘以 $\frac{8}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.2.2.2.1

组合 $\frac{8}{3}$ 和 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{8 \cdot - 1}{3}})$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 8}{3}})$

解题步骤 4.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{8}{3}})$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{8}{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} - 1})$

解题步骤 4.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 4.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 8 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 8 - 3}{3}})$

解题步骤 4.7.2

从 $- 8$ 中减去 $3$ 。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 11}{3}})$

解题步骤 4.8

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{11}{3}})$

解题步骤 4.9

组合 $x^{- \frac{11}{3}}$ 和 $\frac{8}{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3})$

解题步骤 4.10

将 $\frac{10}{27}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3}$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{10 (x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8)}{27 \cdot 3}$

解题步骤 4.11

乘。

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解题步骤 4.11.1

将 $8$ 乘以 $10$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{80 x^{- \frac{11}{3}}}{27 \cdot 3}$

解题步骤 4.11.2

将 $27$ 乘以 $3$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{80 x^{- \frac{11}{3}}}{81}$

解题步骤 4.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{11}{3}}$ 移动到分母。

$f^{4} (x) = - \frac{80}{81 x^{\frac{11}{3}}}$

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