微积分学示例

$\int \ln (1 - x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (1 - x)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln (1 - x) x - \int x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

解题步骤 2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{1 - x}$ 。

$\ln (1 - x) x - \int - \frac{x}{1 - x} d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (1 - x) x - - \int \frac{x}{1 - x} d x$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

化简。

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解题步骤 4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (1 - x) x + 1 \int \frac{x}{1 - x} d x$

解题步骤 4.1.2

将 $\int \frac{x}{1 - x} d x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{1 - x} d x$

解题步骤 4.2

将 $1$ 和 $- x$ 重新排序。

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{- x + 1} d x$

解题步骤 5

用 $x$ 除以 $- x + 1$ 。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x$

$0$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $- x$ 。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x - 1$ 中的所有符号

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

解题步骤 5.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\ln (1 - x) x + \int - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (1 - x) x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 8

使 $u = - x + 1$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = - x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 8.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 9

将负号移到分数的前面。

$\ln (1 - x) x - x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (1 - x) x - x + C - \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 11

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (1 - x) x - x + C - (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 12

化简。

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| u |) + C$

解题步骤 13

使用 $- x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$

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