微积分学示例

$\int_{a}^{b} \frac{1}{4} x^{2} d x$

解题步骤 1

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int_{a}^{b} x^{2} d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{4} \frac{1}{3} x^{3}]_{a}^{b}$

解题步骤 3

计算 $\frac{1}{3} x^{3}$ 在 $b$ 处和在 $a$ 处的值。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} b^{3} - \frac{1}{3} a^{3})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $b^{3}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{b^{3}}{3} - \frac{1}{3} a^{3})$

解题步骤 4.1.2

组合 $a^{3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{b^{3}}{3} - \frac{a^{3}}{3})$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{b^{3}}{3} + \frac{1}{4} (- \frac{a^{3}}{3})$

解题步骤 4.3

合并。

$\frac{1 b^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{1}{4} (- \frac{a^{3}}{3})$

解题步骤 4.4

乘以 $\frac{1}{4} (- \frac{a^{3}}{3})$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{a^{3}}{3}$ 。

$\frac{1 b^{3}}{4 \cdot 3} - \frac{a^{3}}{4 \cdot 3}$

解题步骤 4.4.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1 b^{3}}{4 \cdot 3} - \frac{a^{3}}{12}$

解题步骤 4.5

化简每一项。

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解题步骤 4.5.1

将 $b^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{b^{3}}{4 \cdot 3} - \frac{a^{3}}{12}$

解题步骤 4.5.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{b^{3}}{12} - \frac{a^{3}}{12}$

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