微积分学示例

\int \sin (9 x) d x

$\int \sin (9 x) d x$

解题步骤 1

使

u = 9 x

$u = 9 x$ 。然后使

d u = 9 d x

$d u = 9 d x$ ，以便

\frac{1}{9} d u = d x

$\frac{1}{9} d u = d x$ 。使用

u

$u$ 和

d

$d$

u

$u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设

u = 9 x

$u = 9 x$ 。求

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对

9 x

$9 x$ 求导。

\frac{d}{d x} [9 x]

$\frac{d}{d x} [9 x]$

解题步骤 1.1.2

因为

9

$9$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

9 x

$9 x$ 对

x

$x$ 的导数是

9 \frac{d}{d x} [x]

$9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

9 \frac{d}{d x} [x]

$9 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

9 \cdot 1

$9 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将

9

$9$ 乘以

1

$1$ 。

9

$9$

9

$9$

解题步骤 1.2

使用

u

$u$ 和

d u

$d u$ 重写该问题。

\int \sin (u) \frac{1}{9} d u

$\int \sin (u) \frac{1}{9} d u$

\int \sin (u) \frac{1}{9} d u

$\int \sin (u) \frac{1}{9} d u$

解题步骤 2

组合

\sin (u)

$\sin (u)$ 和

\frac{1}{9}

$\frac{1}{9}$ 。

\int \frac{\sin (u)}{9} d u

$\int \frac{\sin (u)}{9} d u$

解题步骤 3

由于

\frac{1}{9}

$\frac{1}{9}$ 对于

u

$u$ 是常数，所以将

\frac{1}{9}

$\frac{1}{9}$ 移到积分外。

\frac{1}{9} \int \sin (u) d u

$\frac{1}{9} \int \sin (u) d u$

解题步骤 4

\sin (u)

$\sin (u)$ 对

u

$u$ 的积分为

- \cos (u)

$- \cos (u)$ 。

\frac{1}{9} (- \cos (u) + C)

$\frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简。

\frac{1}{9} (- \cos (u)) + C

$\frac{1}{9} (- \cos (u)) + C$

解题步骤 5.2

组合

\frac{1}{9}

$\frac{1}{9}$ 和

\cos (u)

$\cos (u)$ 。

- \frac{\cos (u)}{9} + C

$- \frac{\cos (u)}{9} + C$

- \frac{\cos (u)}{9} + C

$- \frac{\cos (u)}{9} + C$

解题步骤 6

使用

9 x

$9 x$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

- \frac{\cos (9 x)}{9} + C

$- \frac{\cos (9 x)}{9} + C$

解题步骤 7

重新排序项。

- \frac{1}{9} \cos (9 x) + C

$- \frac{1}{9} \cos (9 x) + C$

\int_{}^{} \sin (9 x) d x

$\int_{}^{} \sin (9 x) d x$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





∫

∫













7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

<





∞

∞





!

!



,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$