微积分学示例

$\int p {(p + 7)}^{5} d p$

解题步骤 1

使 $u = p + 7$ 。然后使 $d u = d p$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = p + 7$ 。求 $\frac{d u}{d p}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $p + 7$ 求导。

$\frac{d}{d p} [p + 7]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $p + 7$ 对 $p$ 的导数是 $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [7]$ 。

$\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [7]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 等于 $n p^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d p} [7]$

解题步骤 1.1.4

因为 $7$ 对于 $p$ 是常数，所以 $7$ 对 $p$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (u - 7) u^{5} d u$

解题步骤 2

乘以 $(u - 7) u^{5}$ 。

$\int u \cdot u^{5} - 7 u^{5} d u$

解题步骤 3

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u^{5}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $u$ 乘以 $u^{5}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u^{5} - 7 u^{5} d u$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{1 + 5} - 7 u^{5} d u$

解题步骤 3.2

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\int u^{6} - 7 u^{5} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{6} d u + \int - 7 u^{5} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{6}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{7} u^{7}$ 。

$\frac{1}{7} u^{7} + C + \int - 7 u^{5} d u$

解题步骤 6

由于 $- 7$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 7$ 移到积分外。

$\frac{1}{7} u^{7} + C - 7 \int u^{5} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{5}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{6} u^{6}$ 。

$\frac{1}{7} u^{7} + C - 7 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$\frac{1}{7} u^{7} - 7 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $- 7$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{- 7}{6} u^{6} + C$

解题步骤 8.2.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{7} u^{7} - \frac{7}{6} u^{6} + C$

解题步骤 9

使用 $p + 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{7} {(p + 7)}^{7} - \frac{7}{6} {(p + 7)}^{6} + C$

微积分学 示例

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