微积分学示例

$\int x {(4 x + 5)}^{8} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用二项式定理。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 8 {(4 x)}^{7} \cdot 5 + 28 {(4 x)}^{6} \cdot 5^{2} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 8 (4^{7} x^{7}) \cdot 5 + 28 {(4 x)}^{6} \cdot 5^{2} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.2

对 $4$ 进行 $7$ 次方运算。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 8 (16384 x^{7}) \cdot 5 + 28 {(4 x)}^{6} \cdot 5^{2} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.3

将 $16384$ 乘以 $8$ 。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 131072 x^{7} \cdot 5 + 28 {(4 x)}^{6} \cdot 5^{2} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.4

将 $5$ 乘以 $131072$ 。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 28 {(4 x)}^{6} \cdot 5^{2} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.5

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 28 (4^{6} x^{6}) \cdot 5^{2} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.6

对 $4$ 进行 $6$ 次方运算。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 28 (4096 x^{6}) \cdot 5^{2} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.7

将 $4096$ 乘以 $28$ 。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 114688 x^{6} \cdot 5^{2} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.8

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 114688 x^{6} \cdot 25 + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.9

将 $25$ 乘以 $114688$ 。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.10

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 56 (4^{5} x^{5}) \cdot 5^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.11

对 $4$ 进行 $5$ 次方运算。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 56 (1024 x^{5}) \cdot 5^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.12

将 $1024$ 乘以 $56$ 。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 57344 x^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.13

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 57344 x^{5} \cdot 125 + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.14

将 $125$ 乘以 $57344$ 。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.15

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 70 (4^{4} x^{4}) \cdot 5^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.16

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 70 (256 x^{4}) \cdot 5^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.17

将 $256$ 乘以 $70$ 。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 17920 x^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.18

对 $5$ 进行 $4$ 次方运算。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 17920 x^{4} \cdot 625 + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.19

将 $625$ 乘以 $17920$ 。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.20

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 56 (4^{3} x^{3}) \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.21

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 56 (64 x^{3}) \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.22

将 $64$ 乘以 $56$ 。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 3584 x^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.23

对 $5$ 进行 $5$ 次方运算。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 3584 x^{3} \cdot 3125 + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.24

将 $3125$ 乘以 $3584$ 。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 11200000 x^{3} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.25

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 11200000 x^{3} + 28 (4^{2} x^{2}) \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.26

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 11200000 x^{3} + 28 (16 x^{2}) \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.27

将 $16$ 乘以 $28$ 。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 11200000 x^{3} + 448 x^{2} \cdot 5^{6} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.28

对 $5$ 进行 $6$ 次方运算。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 11200000 x^{3} + 448 x^{2} \cdot 15625 + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.29

将 $15625$ 乘以 $448$ 。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 11200000 x^{3} + 7000000 x^{2} + 8 (4 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.30

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 11200000 x^{3} + 7000000 x^{2} + 32 x \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.31

对 $5$ 进行 $7$ 次方运算。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 11200000 x^{3} + 7000000 x^{2} + 32 x \cdot 78125 + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.32

将 $78125$ 乘以 $32$ 。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 11200000 x^{3} + 7000000 x^{2} + 2500000 x + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.33

对 $5$ 进行 $8$ 次方运算。

$\int x ({(4 x)}^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 11200000 x^{3} + 7000000 x^{2} + 2500000 x + 390625) d x$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\int x {(4 x)}^{8} + x (655360 x^{7}) + x (2867200 x^{6}) + x (7168000 x^{5}) + x (11200000 x^{4}) + x (11200000 x^{3}) + x (7000000 x^{2}) + x (2500000 x) + x \cdot 390625 d x$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x \cdot x^{7} + x (2867200 x^{6}) + x (7168000 x^{5}) + x (11200000 x^{4}) + x (11200000 x^{3}) + x (7000000 x^{2}) + x (2500000 x) + x \cdot 390625 d x$

解题步骤 1.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x \cdot x^{7} + 2867200 x \cdot x^{6} + x (7168000 x^{5}) + x (11200000 x^{4}) + x (11200000 x^{3}) + x (7000000 x^{2}) + x (2500000 x) + x \cdot 390625 d x$

解题步骤 1.4.3

使用乘法的交换性质重写。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x \cdot x^{7} + 2867200 x \cdot x^{6} + 7168000 x \cdot x^{5} + x (11200000 x^{4}) + x (11200000 x^{3}) + x (7000000 x^{2}) + x (2500000 x) + x \cdot 390625 d x$

解题步骤 1.4.4

使用乘法的交换性质重写。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x \cdot x^{7} + 2867200 x \cdot x^{6} + 7168000 x \cdot x^{5} + 11200000 x \cdot x^{4} + x (11200000 x^{3}) + x (7000000 x^{2}) + x (2500000 x) + x \cdot 390625 d x$

解题步骤 1.4.5

使用乘法的交换性质重写。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x \cdot x^{7} + 2867200 x \cdot x^{6} + 7168000 x \cdot x^{5} + 11200000 x \cdot x^{4} + 11200000 x \cdot x^{3} + x (7000000 x^{2}) + x (2500000 x) + x \cdot 390625 d x$

解题步骤 1.4.6

使用乘法的交换性质重写。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x \cdot x^{7} + 2867200 x \cdot x^{6} + 7168000 x \cdot x^{5} + 11200000 x \cdot x^{4} + 11200000 x \cdot x^{3} + 7000000 x \cdot x^{2} + x (2500000 x) + x \cdot 390625 d x$

解题步骤 1.4.7

使用乘法的交换性质重写。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x \cdot x^{7} + 2867200 x \cdot x^{6} + 7168000 x \cdot x^{5} + 11200000 x \cdot x^{4} + 11200000 x \cdot x^{3} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + x \cdot 390625 d x$

解题步骤 1.4.8

将 $390625$ 移到 $x$ 的左侧。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x \cdot x^{7} + 2867200 x \cdot x^{6} + 7168000 x \cdot x^{5} + 11200000 x \cdot x^{4} + 11200000 x \cdot x^{3} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{7}$ 。

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解题步骤 1.5.1.1

移动 $x^{7}$ 。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 (x^{7} x) + 2867200 x \cdot x^{6} + 7168000 x \cdot x^{5} + 11200000 x \cdot x^{4} + 11200000 x \cdot x^{3} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.1.2

将 $x^{7}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 (x^{7} x^{1}) + 2867200 x \cdot x^{6} + 7168000 x \cdot x^{5} + 11200000 x \cdot x^{4} + 11200000 x \cdot x^{3} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{7 + 1} + 2867200 x \cdot x^{6} + 7168000 x \cdot x^{5} + 11200000 x \cdot x^{4} + 11200000 x \cdot x^{3} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.1.3

将 $7$ 和 $1$ 相加。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x \cdot x^{6} + 7168000 x \cdot x^{5} + 11200000 x \cdot x^{4} + 11200000 x \cdot x^{3} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 1.5.2.1

移动 $x^{6}$ 。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 (x^{6} x) + 7168000 x \cdot x^{5} + 11200000 x \cdot x^{4} + 11200000 x \cdot x^{3} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.2.2

将 $x^{6}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 (x^{6} x^{1}) + 7168000 x \cdot x^{5} + 11200000 x \cdot x^{4} + 11200000 x \cdot x^{3} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{6 + 1} + 7168000 x \cdot x^{5} + 11200000 x \cdot x^{4} + 11200000 x \cdot x^{3} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.2.3

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x \cdot x^{5} + 11200000 x \cdot x^{4} + 11200000 x \cdot x^{3} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 1.5.3.1

移动 $x^{5}$ 。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 (x^{5} x) + 11200000 x \cdot x^{4} + 11200000 x \cdot x^{3} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.3.2

将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 (x^{5} x^{1}) + 11200000 x \cdot x^{4} + 11200000 x \cdot x^{3} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{5 + 1} + 11200000 x \cdot x^{4} + 11200000 x \cdot x^{3} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.3.3

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x \cdot x^{4} + 11200000 x \cdot x^{3} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.5.4.1

移动 $x^{4}$ 。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 (x^{4} x) + 11200000 x \cdot x^{3} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.4.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 (x^{4} x^{1}) + 11200000 x \cdot x^{3} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{4 + 1} + 11200000 x \cdot x^{3} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.4.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 x \cdot x^{3} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.5.5.1

移动 $x^{3}$ 。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 (x^{3} x) + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.5.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 (x^{3} x^{1}) + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 x^{3 + 1} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.5.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 7000000 x \cdot x^{2} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.6.1

移动 $x^{2}$ 。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 7000000 (x^{2} x) + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.6.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 7000000 (x^{2} x^{1}) + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 7000000 x^{2 + 1} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 7000000 x^{3} + 2500000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

$\int x {(4 x)}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 7000000 x^{3} + 2500000 x \cdot x + 390625 x d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int x {(4 (x))}^{8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 7000000 x^{3} + 2500000 x \cdot x + 390625 x d x$

解题步骤 2.2

对 $4 (x)$ 运用乘积法则。

$\int x (4^{8} x^{8}) + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 7000000 x^{3} + 2500000 x \cdot x + 390625 x d x$

解题步骤 2.3

对 $4$ 进行 $8$ 次方运算。

$\int x (65536 x^{8}) + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 7000000 x^{3} + 2500000 x \cdot x + 390625 x d x$

解题步骤 2.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 65536 (x^{1} x^{8}) + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 7000000 x^{3} + 2500000 x \cdot x + 390625 x d x$

解题步骤 2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 65536 x^{1 + 8} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 7000000 x^{3} + 2500000 x \cdot x + 390625 x d x$

解题步骤 2.6

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$\int 65536 x^{9} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 7000000 x^{3} + 2500000 x \cdot x + 390625 x d x$

解题步骤 2.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 65536 x^{9} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 7000000 x^{3} + 2500000 (x^{1} x) + 390625 x d x$

解题步骤 2.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 65536 x^{9} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 7000000 x^{3} + 2500000 (x^{1} x^{1}) + 390625 x d x$

解题步骤 2.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 65536 x^{9} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 7000000 x^{3} + 2500000 x^{1 + 1} + 390625 x d x$

解题步骤 2.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 65536 x^{9} + 655360 x^{8} + 2867200 x^{7} + 7168000 x^{6} + 11200000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 7000000 x^{3} + 2500000 x^{2} + 390625 x d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 65536 x^{9} d x + \int 655360 x^{8} d x + \int 2867200 x^{7} d x + \int 7168000 x^{6} d x + \int 11200000 x^{5} d x + \int 11200000 x^{4} d x + \int 7000000 x^{3} d x + \int 2500000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 4

由于 $65536$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $65536$ 移到积分外。

$65536 \int x^{9} d x + \int 655360 x^{8} d x + \int 2867200 x^{7} d x + \int 7168000 x^{6} d x + \int 11200000 x^{5} d x + \int 11200000 x^{4} d x + \int 7000000 x^{3} d x + \int 2500000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{9}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{10} x^{10}$ 。

$65536 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + \int 655360 x^{8} d x + \int 2867200 x^{7} d x + \int 7168000 x^{6} d x + \int 11200000 x^{5} d x + \int 11200000 x^{4} d x + \int 7000000 x^{3} d x + \int 2500000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 6

由于 $655360$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $655360$ 移到积分外。

$65536 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 655360 \int x^{8} d x + \int 2867200 x^{7} d x + \int 7168000 x^{6} d x + \int 11200000 x^{5} d x + \int 11200000 x^{4} d x + \int 7000000 x^{3} d x + \int 2500000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{8}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{9} x^{9}$ 。

$65536 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 655360 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + \int 2867200 x^{7} d x + \int 7168000 x^{6} d x + \int 11200000 x^{5} d x + \int 11200000 x^{4} d x + \int 7000000 x^{3} d x + \int 2500000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 8

由于 $2867200$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2867200$ 移到积分外。

$65536 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 655360 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 2867200 \int x^{7} d x + \int 7168000 x^{6} d x + \int 11200000 x^{5} d x + \int 11200000 x^{4} d x + \int 7000000 x^{3} d x + \int 2500000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{7}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{8} x^{8}$ 。

$65536 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 655360 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 2867200 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + \int 7168000 x^{6} d x + \int 11200000 x^{5} d x + \int 11200000 x^{4} d x + \int 7000000 x^{3} d x + \int 2500000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 10

由于 $7168000$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7168000$ 移到积分外。

$65536 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 655360 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 2867200 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 7168000 \int x^{6} d x + \int 11200000 x^{5} d x + \int 11200000 x^{4} d x + \int 7000000 x^{3} d x + \int 2500000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{6}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{7} x^{7}$ 。

$65536 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 655360 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 2867200 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 7168000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int 11200000 x^{5} d x + \int 11200000 x^{4} d x + \int 7000000 x^{3} d x + \int 2500000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 12

由于 $11200000$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $11200000$ 移到积分外。

$65536 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 655360 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 2867200 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 7168000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 11200000 \int x^{5} d x + \int 11200000 x^{4} d x + \int 7000000 x^{3} d x + \int 2500000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 13

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$65536 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 655360 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 2867200 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 7168000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 11200000 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int 11200000 x^{4} d x + \int 7000000 x^{3} d x + \int 2500000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 14

由于 $11200000$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $11200000$ 移到积分外。

$65536 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 655360 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 2867200 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 7168000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 11200000 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 11200000 \int x^{4} d x + \int 7000000 x^{3} d x + \int 2500000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 15

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$65536 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 655360 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 2867200 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 7168000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 11200000 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 11200000 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 7000000 x^{3} d x + \int 2500000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 16

由于 $7000000$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7000000$ 移到积分外。

$65536 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 655360 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 2867200 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 7168000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 11200000 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 11200000 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 7000000 \int x^{3} d x + \int 2500000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 17

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$65536 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 655360 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 2867200 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 7168000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 11200000 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 11200000 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 7000000 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 2500000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 18

由于 $2500000$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2500000$ 移到积分外。

$65536 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 655360 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 2867200 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 7168000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 11200000 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 11200000 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 7000000 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2500000 \int x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 19

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$65536 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 655360 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 2867200 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 7168000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 11200000 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 11200000 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 7000000 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2500000 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 390625 x d x$

解题步骤 20

由于 $390625$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $390625$ 移到积分外。

$65536 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 655360 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 2867200 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 7168000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 11200000 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 11200000 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 7000000 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2500000 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 390625 \int x d x$

解题步骤 21

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$65536 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 655360 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 2867200 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 7168000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 11200000 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 11200000 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 7000000 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2500000 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 390625 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 22

化简。

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解题步骤 22.1

化简。

$\frac{32768 x^{10}}{5} + \frac{655360 x^{9}}{9} + 358400 x^{8} + 1024000 x^{7} + \frac{5600000 x^{6}}{3} + 2240000 x^{5} + 1750000 x^{4} + \frac{2500000 x^{3}}{3} + 390625 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 22.2

化简。

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解题步骤 22.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{32768 x^{10}}{5} + \frac{655360 x^{9}}{9} + 358400 x^{8} + 1024000 x^{7} + \frac{5600000 x^{6}}{3} + 2240000 x^{5} + 1750000 x^{4} + \frac{2500000 x^{3}}{3} + 390625 \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 22.2.2

组合 $390625$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{32768 x^{10}}{5} + \frac{655360 x^{9}}{9} + 358400 x^{8} + 1024000 x^{7} + \frac{5600000 x^{6}}{3} + 2240000 x^{5} + 1750000 x^{4} + \frac{2500000 x^{3}}{3} + \frac{390625 x^{2}}{2} + C$

解题步骤 22.3

重新排序项。

$\frac{32768}{5} x^{10} + \frac{655360}{9} x^{9} + 358400 x^{8} + 1024000 x^{7} + \frac{5600000}{3} x^{6} + 2240000 x^{5} + 1750000 x^{4} + \frac{2500000}{3} x^{3} + \frac{390625}{2} x^{2} + C$

微积分学 示例

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