微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x) d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \sin (x) d x$

解题步骤 2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \sin (x) d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (x) d x$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

代入并化简。

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解题步骤 5.1.1

计算 $\sin (x)$ 在 $\frac{π}{4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\sin (\frac{π}{4})) - \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

解题步骤 5.1.2

计算 $- \cos (x)$ 在 $\frac{π}{4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\sin (\frac{π}{4}) - \sin (0) - (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (0) - (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

解题步骤 5.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 0 - (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

解题步骤 5.2.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 0 - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (0))$

解题步骤 5.2.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 0 - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

解题步骤 5.2.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 0 - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

解题步骤 5.2.6

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

解题步骤 5.2.7

要将 $- (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 5.2.8

组合 $- (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{- (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.9

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.10

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{2} - 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)}{2}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{2} - 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - 2 \cdot 1}{2}$

解题步骤 5.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\sqrt{2} - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 2 \cdot 1}{2}$

解题步骤 5.3.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{2}}{2} - 2 \cdot 1}{2}$

解题步骤 5.3.2.3

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 2 \cdot 1}{2}$

解题步骤 5.3.2.4

重写表达式。

$\frac{\sqrt{2} - - \sqrt{2} - 2 \cdot 1}{2}$

解题步骤 5.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{2} + 1 \sqrt{2} - 2 \cdot 1}{2}$

解题步骤 5.3.4

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} - 2 \cdot 1}{2}$

解题步骤 5.3.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} - 2}{2}$

解题步骤 5.3.6

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}$

解题步骤 5.3.7

约去 $2 \sqrt{2} - 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.1

从 $2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}$

解题步骤 5.3.7.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}$

解题步骤 5.3.7.3

从 $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}$

解题步骤 5.3.7.4

约去公因数。

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解题步骤 5.3.7.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}$

解题步骤 5.3.7.4.2

约去公因数。

$\frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.7.4.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{2} - 1}{1}$

解题步骤 5.3.7.4.4

用 $\sqrt{2} - 1$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{2} - 1$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\sqrt{2} - 1$

小数形式：

$0.41421356 \dots$

微积分学 示例

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