微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (x) d x$

解题步骤 1

$\sec (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ 。

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

解题步骤 2

化简答案。

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解题步骤 2.1

计算 $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ 在 $\frac{π}{4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

解题步骤 2.2.2

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

解题步骤 2.2.3

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

解题步骤 2.2.4

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

解题步骤 2.2.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 2.2.6

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2

合并和化简分母。

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解题步骤 2.3.1.1.2.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.2.6.4.1

约去公因数。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.6.4.2

重写表达式。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.6.5

计算指数。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.3.1

约去公因数。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.3.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.2

$\sqrt{2} + 1$ 约为 $2.41421356$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

解题步骤 2.3.3

用 $\sqrt{2} + 1$ 除以 $1$ 。

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

小数形式：

$0.88137358 \dots$

微积分学 示例

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