微积分学示例

$\int_{0}^{\sqrt[4]{π}} x^{3} \cos (x^{4}) d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = x^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{1} = x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0^{2}$

解题步骤 1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{1} = x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = {\sqrt[4]{π}}^{2}$

解题步骤 1.5

将 ${\sqrt[4]{π}}^{2}$ 重写为 $\sqrt{π}$ 。

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解题步骤 1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{π}$ 重写成 $π^{\frac{1}{4}}$ 。

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{4}})}^{2}$

解题步骤 1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u_{upper} = π^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

解题步骤 1.5.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $2$ 。

$u_{upper} = π^{\frac{2}{4}}$

解题步骤 1.5.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = π^{\frac{2 (1)}{4}}$

解题步骤 1.5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.5.4.2.2

约去公因数。

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.5.4.2.3

重写表达式。

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.5.5

将 $π^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{π}$ 。

$u_{upper} = \sqrt{π}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{π}$

解题步骤 1.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ 重写为 ${u_{1}}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2.2

约去公因数。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2.3

重写表达式。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u_{1}$ 。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1}}{2} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

解题步骤 2.3

组合 $\frac{u_{1}}{2}$ 和 $\cos ({u_{1}}^{2})$ 。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1} \cos ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

解题步骤 4

使 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 ${u_{1}}^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1}$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{lower} = 0^{2}$

解题步骤 4.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

解题步骤 4.5

将 ${\sqrt{π}}^{2}$ 重写为 $π$ 。

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解题步骤 4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{π}$ 重写成 $π^{\frac{1}{2}}$ 。

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 4.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 4.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.4.1

约去公因数。

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 4.5.4.2

重写表达式。

$u_{upper} = π^{1}$

解题步骤 4.5.5

化简。

$u_{upper} = π$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

解题步骤 4.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 5

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{4} \sin (u_{2})]_{0}^{π}$

解题步骤 9

计算 $\sin (u_{2})$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{4} (\sin (π) - 0)$

解题步骤 10.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{4} (\sin (π) + 0)$

解题步骤 10.3

将 $\sin (π)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4} \sin (π)$

解题步骤 10.4

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sin (π)$ 。

$\frac{\sin (π)}{4}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{\sin (0)}{4}$

解题步骤 11.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{4}$

解题步骤 11.2

用 $0$ 除以 $4$ 。

$0$

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