微积分学示例

$\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} d x$

解题步骤 1

使 $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$

解题步骤 1.1.2

将 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$ 重写为 $\frac{d}{d x} [x - 1]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 1.1.2.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}}]$

解题步骤 1.1.2.1.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.1.3

重写多项式。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}]$

解题步骤 1.1.2.1.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 1)}^{2}}]$

解题步骤 1.1.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.1.3

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \sqrt{0^{2} - 2 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = \sqrt{0 - 2 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 1.3.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = \sqrt{0 + 0 + 1}$

解题步骤 1.3.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = \sqrt{0 + 1}$

解题步骤 1.3.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = \sqrt{1}$

解题步骤 1.3.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 1.5.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 + 1}$

解题步骤 1.5.3

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$u_{upper} = \sqrt{- 1 + 1}$

解题步骤 1.5.4

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = \sqrt{0}$

解题步骤 1.5.5

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$u_{upper} = \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 1.5.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{0} u d u$

解题步骤 2

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $\frac{1}{2} u^{2}$ 在 $0$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

解题步骤 3.2.3

一的任意次幂都为一。

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 3.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.5

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{2}$

小数形式：

$- 0.5$

解题步骤 5

微积分学 示例

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