微积分学示例

$f (x) = \frac{10 - \cos (x)}{10 + \sin (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 10 - \cos (x)$ 且 $g (x) = 10 + \sin (x)$ 。

$\frac{(10 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [10 - \cos (x)] - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $10 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{(10 + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(10 + \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 相加。

$\frac{(10 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{(10 + \sin (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{(10 + \sin (x)) (- - \sin (x)) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(10 + \sin (x)) (1 \sin (x)) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(10 + \sin (x)) \sin (x) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 4.3

根据加法法则， $10 + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{(10 + \sin (x)) \sin (x) - (10 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 4.4

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(10 + \sin (x)) \sin (x) - (10 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 4.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 相加。

$\frac{(10 + \sin (x)) \sin (x) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{(10 + \sin (x)) \sin (x) - (10 - \cos (x)) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{10 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - (10 - \cos (x)) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{10 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + (- 1 \cdot 10 - - \cos (x)) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{10 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - 1 \cdot 10 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4

化简分子。

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解题步骤 6.4.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1.1

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 6.4.1.1.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) - 1 \cdot 10 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.1.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - 1 \cdot 10 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{10 \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot 10 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 \cdot 10 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.3

乘以 $- - \cos (x)$ 。

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解题步骤 6.4.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.3.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.4

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 6.4.1.4.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.2

移动 $\cos^{2} (x)$ 。

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 10 \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.3

使用勾股恒等式。

$\frac{10 \sin (x) + 1 - 10 \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6.5

重新排序项。

$\frac{1 + 10 \sin (x) - 10 \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

微积分学 示例

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