微积分学示例

$\int_{0}^{1} 11 \sqrt[11]{x} d x$

解题步骤 1

由于 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $11$ 移到积分外。

$11 \int_{0}^{1} \sqrt[11]{x} d x$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[11]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{11}}$ 。

$11 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{11}} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{\frac{1}{11}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{11}{12} x^{\frac{12}{11}}$ 。

$11 (\frac{11}{12} x^{\frac{12}{11}}]_{0}^{1})$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{11}{12}$ 和 $x^{\frac{12}{11}}$ 。

$11 (\frac{11 x^{\frac{12}{11}}}{12}]_{0}^{1})$

解题步骤 4.2

代入并化简。

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解题步骤 4.2.1

计算 $\frac{11 x^{\frac{12}{11}}}{12}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$11 ((\frac{11 \cdot 1^{\frac{12}{11}}}{12}) - \frac{11 \cdot 0^{\frac{12}{11}}}{12})$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$11 (\frac{11 \cdot 1}{12} - \frac{11 \cdot 0^{\frac{12}{11}}}{12})$

解题步骤 4.2.2.2

将 $11$ 乘以 $1$ 。

$11 (\frac{11}{12} - \frac{11 \cdot 0^{\frac{12}{11}}}{12})$

解题步骤 4.2.2.3

将 $0$ 重写为 $0^{11}$ 。

$11 (\frac{11}{12} - \frac{11 \cdot {(0^{11})}^{\frac{12}{11}}}{12})$

解题步骤 4.2.2.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$11 (\frac{11}{12} - \frac{11 \cdot 0^{11 (\frac{12}{11})}}{12})$

解题步骤 4.2.2.5

约去 $11$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.5.1

约去公因数。

$11 (\frac{11}{12} - \frac{11 \cdot 0^{11 (\frac{12}{11})}}{12})$

解题步骤 4.2.2.5.2

重写表达式。

$11 (\frac{11}{12} - \frac{11 \cdot 0^{12}}{12})$

解题步骤 4.2.2.6

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$11 (\frac{11}{12} - \frac{11 \cdot 0}{12})$

解题步骤 4.2.2.7

将 $11$ 乘以 $0$ 。

$11 (\frac{11}{12} - \frac{0}{12})$

解题步骤 4.2.2.8

约去 $0$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.8.1

从 $0$ 中分解出因数 $12$ 。

$11 (\frac{11}{12} - \frac{12 (0)}{12})$

解题步骤 4.2.2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.8.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $12$ 。

$11 (\frac{11}{12} - \frac{12 \cdot 0}{12 \cdot 1})$

解题步骤 4.2.2.8.2.2

约去公因数。

$11 (\frac{11}{12} - \frac{12 \cdot 0}{12 \cdot 1})$

解题步骤 4.2.2.8.2.3

重写表达式。

$11 (\frac{11}{12} - \frac{0}{1})$

解题步骤 4.2.2.8.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$11 (\frac{11}{12} - 0)$

解题步骤 4.2.2.9

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$11 (\frac{11}{12} + 0)$

解题步骤 4.2.2.10

将 $\frac{11}{12}$ 和 $0$ 相加。

$11 (\frac{11}{12})$

解题步骤 4.2.2.11

组合 $11$ 和 $\frac{11}{12}$ 。

$\frac{11 \cdot 11}{12}$

解题步骤 4.2.2.12

将 $11$ 乘以 $11$ 。

$\frac{121}{12}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{121}{12}$

小数形式：

$10.08\overline{3}$

带分数形式：

$10 \frac{1}{12}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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