微积分学示例

$\int_{0}^{1} 7 x e^{5 x} d x$

解题步骤 1

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$7 \int_{0}^{1} x e^{5 x} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{5 x}$ 。

$7 (x (\frac{1}{5} e^{5 x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$7 (x \frac{e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

解题步骤 3.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{5 x}}{5}$ 。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{5 x}}{5} d x)$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} \int_{0}^{1} e^{5 x} d x))$

解题步骤 5

使 $u = 5 x$ 。然后使 $d u = 5 d x$ ，以便 $\frac{1}{5} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 5 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $5 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = 5 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

解题步骤 5.3

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = 5 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

解题步骤 5.5

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 5$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} \frac{1}{5} d u)$

解题步骤 6

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} \frac{e^{u}}{5} d u)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u))$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

解题步骤 8.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{25} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

解题步骤 9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{25} e^{u}]_{0}^{5})$

解题步骤 10

组合 $e^{u}]_{0}^{5}$ 和 $\frac{1}{25}$ 。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{e^{u}]_{0}^{5}}{25})$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $\frac{x e^{5 x}}{5}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$7 ((\frac{1 e^{5 \cdot 1}}{5}) - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{e^{u}]_{0}^{5}}{25})$

解题步骤 11.2

计算 $e^{u}$ 在 $5$ 处和在 $0$ 处的值。

$7 ((\frac{1 e^{5 \cdot 1}}{5}) - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$7 (\frac{1 e^{5}}{5} - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

解题步骤 11.3.2

将 $e^{5}$ 乘以 $1$ 。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

解题步骤 11.3.3

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 e^{0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

解题步骤 11.3.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 \cdot 1}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

解题步骤 11.3.5

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

解题步骤 11.3.6

约去 $0$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.6.1

从 $0$ 中分解出因数 $5$ 。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 (0)}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

解题步骤 11.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.6.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

解题步骤 11.3.6.2.2

约去公因数。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

解题步骤 11.3.6.2.3

重写表达式。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

解题步骤 11.3.6.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - 0 - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

解题步骤 11.3.7

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$7 (\frac{e^{5}}{5} + 0 - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

解题步骤 11.3.8

将 $\frac{e^{5}}{5}$ 和 $0$ 相加。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

解题步骤 11.3.9

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{5} - 1 \cdot 1}{25})$

解题步骤 11.3.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

解题步骤 11.3.11

要将 $\frac{e^{5}}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$7 (\frac{e^{5}}{5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

解题步骤 11.3.12

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $25$ 的形式。

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解题步骤 11.3.12.1

将 $\frac{e^{5}}{5}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$7 (\frac{e^{5} \cdot 5}{5 \cdot 5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

解题步骤 11.3.12.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$7 (\frac{e^{5} \cdot 5}{25} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

解题步骤 11.3.13

在公分母上合并分子。

$7 \frac{e^{5} \cdot 5 - (e^{5} - 1)}{25}$

解题步骤 11.3.14

将 $5$ 移到 $e^{5}$ 的左侧。

$7 \frac{5 \cdot e^{5} - (e^{5} - 1)}{25}$

解题步骤 11.3.15

组合 $7$ 和 $\frac{5 e^{5} - (e^{5} - 1)}{25}$ 。

$\frac{7 (5 e^{5} - (e^{5} - 1))}{25}$

解题步骤 12

化简分子。

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解题步骤 12.1

运用分配律。

$\frac{7 (5 e^{5} - e^{5} - - 1)}{25}$

解题步骤 12.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{7 (5 e^{5} - e^{5} + 1)}{25}$

解题步骤 12.3

从 $5 e^{5}$ 中减去 $e^{5}$ 。

$\frac{7 (4 e^{5} + 1)}{25}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{7 (4 e^{5} + 1)}{25}$

小数形式：

$166.50273819 \dots$

解题步骤 14

微积分学 示例

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