微积分学示例

$\int_{0}^{1} \ln (x^{2} + 1) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x^{2} + 1)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $x$ 和 $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 5

用 $x^{2}$ 除以 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 0 + 1$ 中的所有符号

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

解题步骤 5.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 9

化简表达式。

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解题步骤 9.1

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

解题步骤 9.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

解题步骤 10

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x)]_{0}^{1}$ 。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $\ln (x^{2} + 1) x$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

解题步骤 11.2

计算 $x$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 ((1) + 0 - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

解题步骤 11.3

计算 $\arctan (x)$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

解题步骤 11.4

化简。

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解题步骤 11.4.1

一的任意次幂都为一。

$\ln (1 + 1) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

解题步骤 11.4.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\ln (2) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

解题步骤 11.4.3

将 $\ln (2)$ 乘以 $1$ 。

$\ln (2) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

解题步骤 11.4.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\ln (2) - \ln (0 + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

解题步骤 11.4.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\ln (2) - \ln (1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

解题步骤 11.4.6

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (2) + 0 \ln (1) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

解题步骤 11.4.7

将 $0$ 乘以 $\ln (1)$ 。

$\ln (2) + 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

解题步骤 11.4.8

将 $\ln (2)$ 和 $0$ 相加。

$\ln (2) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

解题步骤 11.4.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\ln (2) - 2 (1 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

解题步骤 12

化简每一项。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - \arctan (0)))$

解题步骤 12.1.1.2

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - 0))$

解题步骤 12.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} + 0))$

解题步骤 12.1.2

将 $\frac{π}{4}$ 和 $0$ 相加。

$\ln (2) - 2 (1 - \frac{π}{4})$

解题步骤 12.2

运用分配律。

$\ln (2) - 2 \cdot 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

解题步骤 12.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\ln (2) - 2 - 2 (- \frac{π}{4})$

解题步骤 12.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.4.1

将 $- \frac{π}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\ln (2) - 2 - 2 \frac{- π}{4}$

解题步骤 12.4.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (2) - 2 + 2 (- 1) \frac{- π}{4}$

解题步骤 12.4.3

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 12.4.4

约去公因数。

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 12.4.5

重写表达式。

$\ln (2) - 2 - \frac{- π}{2}$

解题步骤 12.5

化简每一项。

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解题步骤 12.5.1

将负号移到分数的前面。

$\ln (2) - 2 - - \frac{π}{2}$

解题步骤 12.5.2

乘以 $- - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 12.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (2) - 2 + 1 \frac{π}{2}$

解题步骤 12.5.2.2

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

小数形式：

$0.26394350 \dots$

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