微积分学示例

$\int_{0}^{1} \arcsin (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \arcsin (x)$ ， $d v = 1$ 。

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

解题步骤 2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

解题步骤 3

使 $u = 1 - x^{2}$ 。然后使 $d u = - 2 x d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = 1 - x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $1 - x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 3.1.2

求微分。

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解题步骤 3.1.2.1

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 3.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - (2 x)$

解题步骤 3.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 2 x$

解题步骤 3.1.4

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$- 2 x$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = 1 - x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 1 - 0$

解题步骤 3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 3.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = 1 - x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 - 1^{2}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 1 - 1$

解题步骤 3.5.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将负号移到分数的前面。

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

解题步骤 4.3

将 $2$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} - - \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} + 1 \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 6.2

将 $\int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ 乘以 $1$ 。

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 8

应用指数的基本规则。

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解题步骤 8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 8.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 8.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 8.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 8.3.3

将负号移到分数的前面。

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $\arcsin (x) x$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

解题步骤 10.2

计算 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 在 $0$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

将 $\arcsin (1)$ 乘以 $1$ 。

$\arcsin (1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.2

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\arcsin (1) + 0 \arcsin (0) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.3

将 $0$ 乘以 $\arcsin (0)$ 。

$\arcsin (1) + 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.4

将 $\arcsin (1)$ 和 $0$ 相加。

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.5

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.6

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.7.1

约去公因数。

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.7.2

重写表达式。

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.8

计算指数。

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.9

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.10

一的任意次幂都为一。

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1)$

解题步骤 10.3.11

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2)$

解题步骤 10.3.12

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} \cdot - 2$

解题步骤 10.3.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 2$ 。

$\arcsin (1) + \frac{- 2}{2}$

解题步骤 10.3.14

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.14.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

解题步骤 10.3.14.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.14.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

解题步骤 10.3.14.2.2

约去公因数。

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 10.3.14.2.3

重写表达式。

$\arcsin (1) + \frac{- 1}{1}$

解题步骤 10.3.14.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\arcsin (1) - 1$

解题步骤 11

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{π}{2} - 1$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π}{2} - 1$

小数形式：

$0.57079632 \dots$

微积分学 示例

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