微积分学示例

$\int_{0}^{1} x (\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}) d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int_{0}^{1} x (x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[4]{x}) d x$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{4}}$ 。

$\int_{0}^{1} x (x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{4}}) d x$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int_{0}^{1} x \cdot x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

解题步骤 3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{1} x^{1} x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{1} x^{1 + \frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

解题步骤 3.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{3 + 1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

解题步骤 3.6

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

解题步骤 3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{1} x^{\frac{1}{4}} d x$

解题步骤 3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{1 + \frac{1}{4}} d x$

解题步骤 3.9

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}} d x$

解题步骤 3.10

在公分母上合并分子。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4 + 1}{4}} d x$

解题步骤 3.11

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{5}{4}} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} d x + \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{4}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ 。

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{5}{4}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ 。

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$

解题步骤 7

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

组合 $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1}$ 和 $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$ 。

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$

解题步骤 7.2

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

计算 $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}}) - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{3}{7} \cdot 1 + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.2

将 $\frac{3}{7}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} \cdot 1 - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.4

将 $\frac{4}{9}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.5

要将 $\frac{3}{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.6

要将 $\frac{4}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $63$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.7.1

将 $\frac{3}{7}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.7.2

将 $7$ 乘以 $9$ 。

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.7.3

将 $\frac{4}{9}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.7.4

将 $9$ 乘以 $7$ 。

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{3 \cdot 9 + 4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.9

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.9.1

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{27 + 4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.9.2

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$\frac{27 + 28}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.9.3

将 $27$ 和 $28$ 相加。

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.10

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot {(0^{3})}^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.11

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.12

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.12.1

约去公因数。

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.12.2

重写表达式。

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{7} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.13

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.14

将 $\frac{3}{7}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.15

将 $0$ 重写为 $0^{4}$ 。

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot {(0^{4})}^{\frac{9}{4}})$

解题步骤 7.2.2.16

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})})$

解题步骤 7.2.2.17

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.17.1

约去公因数。

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})})$

解题步骤 7.2.2.17.2

重写表达式。

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{9})$

解题步骤 7.2.2.18

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0)$

解题步骤 7.2.2.19

将 $\frac{4}{9}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{55}{63} - (0 + 0)$

解题步骤 7.2.2.20

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{55}{63} - 0$

解题步骤 7.2.2.21

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{55}{63} + 0$

解题步骤 7.2.2.22

将 $\frac{55}{63}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{55}{63}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{55}{63}$

小数形式：

$0.\overline{873015}$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例