微积分学示例

$\int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 在 $8$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 3.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 3.2.3.2

重写表达式。

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 3.2.4

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 3.2.5

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $16$ 。

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 3.2.6

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 3.2.7

约去 $48$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.7.1

从 $48$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 3.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 3.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 3.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 3.2.7.2.4

用 $12$ 除以 $1$ 。

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 3.2.8

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$12 - \frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 3.2.9

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

解题步骤 3.2.10

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.10.1

约去公因数。

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

解题步骤 3.2.10.2

重写表达式。

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{4}$

解题步骤 3.2.11

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0$

解题步骤 3.2.12

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$12 + 0 (\frac{3}{4})$

解题步骤 3.2.13

将 $0$ 乘以 $\frac{3}{4}$ 。

$12 + 0$

解题步骤 3.2.14

将 $12$ 和 $0$ 相加。

$12$

解题步骤 4

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