微积分学示例

$\int_{0}^{8} 8 - 4 \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{8} 8 d x + \int_{0}^{8} - 4 \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 2

应用常数不变法则。

$8 x]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} - 4 \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 3

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$8 x]_{0}^{8} - 4 \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$8 x]_{0}^{8} - 4 \int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 。

$8 x]_{0}^{8} - 4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8})$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

$8 x]_{0}^{8} - 4 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{8})$

解题步骤 6.2

代入并化简。

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解题步骤 6.2.1

计算 $8 x$ 在 $8$ 处和在 $0$ 处的值。

$(8 \cdot 8) - 8 \cdot 0 - 4 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{8})$

解题步骤 6.2.2

计算 $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ 在 $8$ 处和在 $0$ 处的值。

$8 \cdot 8 - 8 \cdot 0 - 4 (\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 6.2.3

化简。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$64 - 8 \cdot 0 - 4 (\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 6.2.3.2

将 $- 8$ 乘以 $0$ 。

$64 + 0 - 4 (\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 6.2.3.3

将 $64$ 和 $0$ 相加。

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 6.2.3.4

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$64 - 4 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 6.2.3.5

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 6.2.3.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.6.1

约去公因数。

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 6.2.3.6.2

重写表达式。

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 2^{4}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 6.2.3.7

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 6.2.3.8

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$64 - 4 (\frac{48}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 6.2.3.9

约去 $48$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.9.1

从 $48$ 中分解出因数 $4$ 。

$64 - 4 (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 6.2.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.9.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$64 - 4 (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 6.2.3.9.2.2

约去公因数。

$64 - 4 (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 6.2.3.9.2.3

重写表达式。

$64 - 4 (\frac{12}{1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 6.2.3.9.2.4

用 $12$ 除以 $1$ 。

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 6.2.3.10

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 6.2.3.11

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

解题步骤 6.2.3.12

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.12.1

约去公因数。

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

解题步骤 6.2.3.12.2

重写表达式。

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0^{4}}{4})$

解题步骤 6.2.3.13

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0}{4})$

解题步骤 6.2.3.14

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$64 - 4 (12 - \frac{0}{4})$

解题步骤 6.2.3.15

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.15.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$64 - 4 (12 - \frac{4 (0)}{4})$

解题步骤 6.2.3.15.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.15.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$64 - 4 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

解题步骤 6.2.3.15.2.2

约去公因数。

$64 - 4 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

解题步骤 6.2.3.15.2.3

重写表达式。

$64 - 4 (12 - \frac{0}{1})$

解题步骤 6.2.3.15.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$64 - 4 (12 - 0)$

解题步骤 6.2.3.16

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$64 - 4 (12 + 0)$

解题步骤 6.2.3.17

将 $12$ 和 $0$ 相加。

$64 - 4 \cdot 12$

解题步骤 6.2.3.18

将 $- 4$ 乘以 $12$ 。

$64 - 48$

解题步骤 6.2.3.19

从 $64$ 中减去 $48$ 。

$16$

解题步骤 7

微积分学 示例

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