微积分学示例

$\int_{0}^{3} x^{3} - 6 x d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 6 x d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - 6 x d x$

解题步骤 3

由于 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 6$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3} - 6 \int_{0}^{3} x d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3})$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $\frac{1}{4} x^{4}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

解题步骤 5.2.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.3

化简。

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解题步骤 5.2.3.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{4} \cdot 81 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.3.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $81$ 。

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.3.4

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{81}{4} + 0 (\frac{1}{4}) - 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.3.5

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{81}{4} + 0 - 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.3.6

将 $\frac{81}{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.3.7

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.3.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

解题步骤 5.2.3.9

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.9.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

解题步骤 5.2.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 5.2.3.9.2.2

约去公因数。

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 5.2.3.9.2.3

重写表达式。

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

解题步骤 5.2.3.9.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{9}{2} - 0)$

解题步骤 5.2.3.10

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{9}{2} + 0)$

解题步骤 5.2.3.11

将 $\frac{9}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{9}{2})$

解题步骤 5.2.3.12

组合 $- 6$ 和 $\frac{9}{2}$ 。

$\frac{81}{4} + \frac{- 6 \cdot 9}{2}$

解题步骤 5.2.3.13

将 $- 6$ 乘以 $9$ 。

$\frac{81}{4} + \frac{- 54}{2}$

解题步骤 5.2.3.14

约去 $- 54$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.14.1

从 $- 54$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{4} + \frac{2 \cdot - 27}{2}$

解题步骤 5.2.3.14.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.14.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{4} + \frac{2 \cdot - 27}{2 (1)}$

解题步骤 5.2.3.14.2.2

约去公因数。

$\frac{81}{4} + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.14.2.3

重写表达式。

$\frac{81}{4} + \frac{- 27}{1}$

解题步骤 5.2.3.14.2.4

用 $- 27$ 除以 $1$ 。

$\frac{81}{4} - 27$

解题步骤 5.2.3.15

要将 $- 27$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{81}{4} - 27 \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 5.2.3.16

组合 $- 27$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{81}{4} + \frac{- 27 \cdot 4}{4}$

解题步骤 5.2.3.17

在公分母上合并分子。

$\frac{81 - 27 \cdot 4}{4}$

解题步骤 5.2.3.18

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.18.1

将 $- 27$ 乘以 $4$ 。

$\frac{81 - 108}{4}$

解题步骤 5.2.3.18.2

从 $81$ 中减去 $108$ 。

$\frac{- 27}{4}$

解题步骤 5.2.3.19

将负号移到分数的前面。

$- \frac{27}{4}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{27}{4}$

小数形式：

$- 6.75$

带分数形式：

$- 6 \frac{3}{4}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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