微积分学示例

$\int_{1}^{2} 4 \sqrt{x} - \frac{5}{x} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{2} 4 \sqrt{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

解题步骤 2

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{1}^{2} \sqrt{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

解题步骤 3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 \int_{1}^{2} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} \frac{5}{x} d x$

解题步骤 7

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - (5 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 8

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - 5 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 9

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - 5 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

代入并化简。

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解题步骤 10.1.1

计算 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 ((\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

解题步骤 10.1.2

计算 $\ln (| x |)$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 (\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10.1.3

化简。

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解题步骤 10.1.3.1

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 10.1.3.1.1

将 $2$ 乘以 $2^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 10.1.3.1.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10.1.3.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10.1.3.1.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$4 (\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10.1.3.1.3

在公分母上合并分子。

$4 (\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10.1.3.1.4

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$4 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10.1.3.2

一的任意次幂都为一。

$4 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10.1.3.4

在公分母上合并分子。

$4 \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10.1.3.5

组合 $4$ 和 $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ 。

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{3} - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10.1.3.6

要将 $- 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{3} - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 10.1.3.7

组合 $- 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{3} + \frac{- 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3}$

解题步骤 10.1.3.8

在公分母上合并分子。

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3}$

解题步骤 10.1.3.9

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2) - 15 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{3}$

解题步骤 10.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2) - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

运用分配律。

$\frac{4 \cdot 2^{\frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

解题步骤 10.3.2

乘以 $4 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 10.3.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

解题步骤 10.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2^{2 + \frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

解题步骤 10.3.2.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

解题步骤 10.3.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

解题步骤 10.3.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2^{\frac{2 \cdot 2 + 5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

解题步骤 10.3.2.6

化简分子。

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解题步骤 10.3.2.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2^{\frac{4 + 5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

解题步骤 10.3.2.6.2

将 $4$ 和 $5$ 相加。

$\frac{2^{\frac{9}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

解题步骤 10.3.3

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

解题步骤 10.3.4

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (\frac{2}{| 1 |})}{3}$

解题步骤 10.3.5

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (\frac{2}{1})}{3}$

解题步骤 10.3.6

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (2)}{3}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (2)}{3}$

小数形式：

$1.41006976 \dots$

解题步骤 12

微积分学 示例

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