微积分学示例

$\int_{1}^{2} 2 x e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{1}^{2} x e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $e^{- x^{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

解题步骤 2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

解题步骤 2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

重新排序 $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ 的因式。

$- 2 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 2.1.4.2

将 $- 2 e^{- x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$- 2 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

一的任意次幂都为一。

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = e^{- 1}$

解题步骤 2.3.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = e^{- 2^{2}}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = e^{- 1 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$u_{upper} = e^{- 4}$

解题步骤 2.5.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u_{upper} = \frac{1}{e^{4}}$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = \frac{1}{e^{4}}$

解题步骤 2.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 \int_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

解题步骤 3

将负号移到分数的前面。

$2 \int_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$2 (- \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}})$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $u_{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (- \frac{u_{2}}{2}]_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}})$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $- \frac{u_{2}}{2}$ 在 $\frac{1}{e^{4}}$ 处和在 $\frac{1}{e}$ 处的值。

$2 ((- \frac{\frac{1}{e^{4}}}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $\frac{\frac{1}{e^{4}}}{2}$ 重写为乘积形式。

$2 (- (\frac{1}{e^{4}} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

解题步骤 5.2.2.2

将 $\frac{1}{e^{4}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (- \frac{1}{e^{4} \cdot 2} + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

解题步骤 5.2.2.3

将 $2$ 移到 $e^{4}$ 的左侧。

$2 (- \frac{1}{2 \cdot e^{4}} + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

解题步骤 5.2.2.4

将 $\frac{\frac{1}{e}}{2}$ 重写为乘积形式。

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}} + \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 5.2.2.5

将 $\frac{1}{e}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}} + \frac{1}{e \cdot 2})$

解题步骤 5.2.2.6

将 $2$ 移到 $e$ 的左侧。

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}} + \frac{1}{2 e})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}}) + 2 \frac{1}{2 e}$

解题步骤 6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

将 $- \frac{1}{2 e^{4}}$ 中前置负号移到分子中。

$2 \frac{- 1}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

解题步骤 6.2.2

从 $2 e^{4}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{- 1}{2 (e^{4})} + 2 \frac{1}{2 e}$

解题步骤 6.2.3

约去公因数。

$2 \frac{- 1}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

解题步骤 6.2.4

重写表达式。

$\frac{- 1}{e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

解题步骤 6.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从 $2 e$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 1}{e^{4}} + 2 \frac{1}{2 (e)}$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

解题步骤 6.3.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{e^{4}} + \frac{1}{e}$

解题步骤 6.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{e^{4}} + \frac{1}{e}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{e^{4}} + \frac{1}{e}$

小数形式：

$0.34956380 \dots$

解题步骤 8

微积分学 示例

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