微积分学示例

$\int_{1}^{3} x \sin (π x^{2}) d x$

解题步骤 1

使 $u = π x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 \cdot x π d x$ ，以便 $\frac{1}{2 π} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = π x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $π x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [π x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$π (2 x)$

解题步骤 1.1.4

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$2 π x$

解题步骤 1.1.5

将 $2 π$ 和 $x$ 重新排序。

$x (2 π)$

解题步骤 1.1.6

将 $x$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot x π$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = π x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = π \cdot 1^{2}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

一的任意次幂都为一。

$u_{lower} = π \cdot 1$

解题步骤 1.3.2

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = π$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = π x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = π \cdot 3^{2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = π \cdot 9$

解题步骤 1.5.2

将 $9$ 移到 $π$ 的左侧。

$u_{upper} = 9 π$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = 9 π$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{π}^{9 π} \sin (u) \frac{1}{2 π} d u$

解题步骤 2

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{2 π}$ 。

$\int_{π}^{9 π} \frac{\sin (u)}{2 π} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2 π}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2 π}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2 π} \int_{π}^{9 π} \sin (u) d u$

解题步骤 4

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$\frac{1}{2 π} - \cos (u)]_{π}^{9 π}$

解题步骤 5

计算 $- \cos (u)$ 在 $9 π$ 处和在 $π$ 处的值。

$\frac{1}{2 π} (- \cos (9 π) + \cos (π))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + \cos (π))$

解题步骤 6.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{1}{2 π} (- - \cos (0) + \cos (π))$

解题步骤 6.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2 π} (- (- 1 \cdot 1) + \cos (π))$

解题步骤 6.1.4

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 6.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 π} (- - 1 + \cos (π))$

解题步骤 6.1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2 π} (1 + \cos (π))$

解题步骤 6.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{1}{2 π} (1 - \cos (0))$

解题步骤 6.1.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2 π} (1 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 6.1.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 π} (1 - 1)$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2 π} \cdot 0$

解题步骤 6.3

将 $\frac{1}{2 π}$ 乘以 $0$ 。

$0$

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