微积分学示例

$\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{5}{x}} d x$

解题步骤 1

将 $\sqrt{\frac{5}{x}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}}$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 2

由于 $\sqrt{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\sqrt{5}$ 移到积分外。

$\sqrt{5} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{5} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 3.2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\sqrt{5} \int_{1}^{4} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 3.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{5} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\sqrt{5} \int_{1}^{4} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 3.3.3

将负号移到分数的前面。

$\sqrt{5} \int_{1}^{4} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{5} 2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$\sqrt{5} ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{5} (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{5} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

约去公因数。

$\sqrt{5} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2.3.2

重写表达式。

$\sqrt{5} (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2.4

计算指数。

$\sqrt{5} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{5} (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2.6

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{5} (4 - 2 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.7

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{5} (4 - 2)$

解题步骤 5.2.8

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\sqrt{5} \cdot 2$

解题步骤 5.2.9

将 $2$ 移到 $\sqrt{5}$ 的左侧。

$2 \sqrt{5}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 \sqrt{5}$

小数形式：

$4.47213595 \dots$

解题步骤 7

微积分学 示例

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