微积分学示例

$\int_{1}^{4} \frac{u - 2}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{u - 2}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{1}^{4} (u - 2) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{1}^{4} (u - 2) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int_{1}^{4} (u - 2) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{4} (u - 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4

展开 $(u - 2) u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int_{1}^{4} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{1}^{4} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{1}^{4} u^{1 - \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4.6

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{4} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 7

由于 $- 2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - 2 \int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - 2 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

解题步骤 9.2

计算 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.3.2

重写表达式。

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $8$ 。

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.6

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{16 - 2}{3} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.10

从 $16$ 中减去 $2$ 。

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.11

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.12

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.13

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.13.1

约去公因数。

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.13.2

重写表达式。

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.14

计算指数。

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.15

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{14}{3} - 2 (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.16

一的任意次幂都为一。

$\frac{14}{3} - 2 (4 - 2 \cdot 1)$

解题步骤 9.3.17

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{14}{3} - 2 (4 - 2)$

解题步骤 9.3.18

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\frac{14}{3} - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.3.19

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{14}{3} - 4$

解题步骤 9.3.20

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{14}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 9.3.21

组合 $- 4$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{14}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

解题步骤 9.3.22

在公分母上合并分子。

$\frac{14 - 4 \cdot 3}{3}$

解题步骤 9.3.23

化简分子。

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解题步骤 9.3.23.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{14 - 12}{3}$

解题步骤 9.3.23.2

从 $14$ 中减去 $12$ 。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2}{3}$

小数形式：

$0.\overline{6}$

解题步骤 11

微积分学 示例

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