微积分学示例

$\int_{1}^{4} \sqrt{x} \ln (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = \sqrt{x}$ 。

$\ln (x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\ln (x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $x^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} d x)$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{1}$ 移动到分子。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} d x)$

解题步骤 4.3

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 4.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2} - 1} d x)$

解题步骤 4.3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} d x)$

解题步骤 4.3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} d x)$

解题步骤 4.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} d x)$

解题步骤 4.3.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3 - 2}{2}} d x)$

解题步骤 4.3.5.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x)$

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - \frac{2}{3} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{\ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

解题步骤 6.2

计算 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{\ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\ln (4) (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1

约去公因数。

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3.3.2

重写表达式。

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 2^{3})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 8)}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3.5

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{\ln (4) \cdot 16}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3.6

将 $16$ 移到 $\ln (4)$ 的左侧。

$\frac{16 \cdot \ln (4)}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3.9

将 $2$ 移到 $\ln (1)$ 的左侧。

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \cdot \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3.10

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3.11

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3.12

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.12.1

约去公因数。

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3.12.2

重写表达式。

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3.13

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3.14

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $8$ 。

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3.15

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3.16

一的任意次幂都为一。

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

解题步骤 6.3.17

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

解题步骤 6.3.18

在公分母上合并分子。

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{16 - 2}{3}$

解题步骤 6.3.19

从 $16$ 中减去 $2$ 。

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{14}{3}$

解题步骤 6.3.20

将 $\frac{14}{3}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{14 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

解题步骤 6.3.21

将 $14$ 乘以 $2$ 。

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{28}{3 \cdot 3}$

解题步骤 6.3.22

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{28}{9}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

在公分母上合并分子。

$\frac{16 \ln (4) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

解题步骤 7.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1

将 $\ln (4)$ 重写为 $\ln (2^{2})$ 。

$\frac{16 \ln (2^{2}) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

解题步骤 7.2.2

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{2})$ 。

$\frac{16 (2 \ln (2)) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

解题步骤 7.2.3

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$\frac{32 \ln (2) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

解题步骤 7.2.4

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{32 \ln (2) - 2 \cdot 0}{3} + \frac{- 28}{9}$

解题步骤 7.2.5

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{32 \ln (2) + 0}{3} + \frac{- 28}{9}$

解题步骤 7.3

将 $32 \ln (2)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{32 \ln (2)}{3} + \frac{- 28}{9}$

解题步骤 7.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{32 \ln (2)}{3} - \frac{28}{9}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{32 \ln (2)}{3} - \frac{28}{9}$

小数形式：

$4.28245881 \dots$

微积分学 示例

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