微积分学示例

$\int_{1}^{4} 5 - 2 x + 3 x^{2} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{4} 5 d x + \int_{1}^{4} - 2 x d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

解题步骤 2

应用常数不变法则。

$5 x]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - 2 x d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

解题步骤 3

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$5 x]_{1}^{4} - 2 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

解题步骤 6

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} x^{2} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4})$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

解题步骤 8.2

代入并化简。

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解题步骤 8.2.1

计算 $5 x$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$(5 \cdot 4) - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

解题步骤 8.2.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$5 \cdot 4 - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

解题步骤 8.2.3

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$5 \cdot 4 - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4

化简。

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解题步骤 8.2.4.1

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$20 - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.2

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$20 - 5 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.3

从 $20$ 中减去 $5$ 。

$15 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.4

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$15 - 2 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.5

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.4.5.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$15 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.5.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.4.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$15 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.5.2.2

约去公因数。

$15 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.5.2.3

重写表达式。

$15 - 2 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.5.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$15 - 2 (8 - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.6

一的任意次幂都为一。

$15 - 2 (8 - \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.7

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$15 - 2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.8

组合 $8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$15 - 2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.9

在公分母上合并分子。

$15 - 2 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.10

化简分子。

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解题步骤 8.2.4.10.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$15 - 2 \frac{16 - 1}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.10.2

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$15 - 2 (\frac{15}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.11

组合 $- 2$ 和 $\frac{15}{2}$ 。

$15 + \frac{- 2 \cdot 15}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.12

将 $- 2$ 乘以 $15$ 。

$15 + \frac{- 30}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.13

约去 $- 30$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.4.13.1

从 $- 30$ 中分解出因数 $2$ 。

$15 + \frac{2 \cdot - 15}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.13.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.4.13.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$15 + \frac{2 \cdot - 15}{2 (1)} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.13.2.2

约去公因数。

$15 + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.13.2.3

重写表达式。

$15 + \frac{- 15}{1} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.13.2.4

用 $- 15$ 除以 $1$ 。

$15 - 15 + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.14

从 $15$ 中减去 $15$ 。

$0 + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.15

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$0 + 3 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.16

一的任意次幂都为一。

$0 + 3 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 8.2.4.17

在公分母上合并分子。

$0 + 3 \frac{64 - 1}{3}$

解题步骤 8.2.4.18

从 $64$ 中减去 $1$ 。

$0 + 3 (\frac{63}{3})$

解题步骤 8.2.4.19

约去 $63$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.4.19.1

从 $63$ 中分解出因数 $3$ 。

$0 + 3 \frac{3 \cdot 21}{3}$

解题步骤 8.2.4.19.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.4.19.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$0 + 3 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)}$

解题步骤 8.2.4.19.2.2

约去公因数。

$0 + 3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.4.19.2.3

重写表达式。

$0 + 3 (\frac{21}{1})$

解题步骤 8.2.4.19.2.4

用 $21$ 除以 $1$ 。

$0 + 3 \cdot 21$

解题步骤 8.2.4.20

将 $3$ 乘以 $21$ 。

$0 + 63$

解题步骤 8.2.4.21

将 $0$ 和 $63$ 相加。

$63$

解题步骤 9

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