微积分学示例

$\int_{1}^{4} x^{2} + \sqrt{x} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

解题步骤 3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}$ 和 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot 64 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $64$ 。

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.5.1

约去公因数。

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.5.2

重写表达式。

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.6

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 8 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.7

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $8$ 。

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.8

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{64}{3} + \frac{16}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.9

在公分母上合并分子。

$\frac{64 + 16}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.10

将 $64$ 和 $16$ 相加。

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.11

一的任意次幂都为一。

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.12

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.13

一的任意次幂都为一。

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1)$

解题步骤 5.2.2.14

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3})$

解题步骤 5.2.2.15

在公分母上合并分子。

$\frac{80}{3} - \frac{1 + 2}{3}$

解题步骤 5.2.2.16

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{80}{3} - \frac{3}{3}$

解题步骤 5.2.2.17

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.17.1

约去公因数。

$\frac{80}{3} - \frac{3}{3}$

解题步骤 5.2.2.17.2

重写表达式。

$\frac{80}{3} - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.2.2.18

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{80}{3} - 1$

解题步骤 5.2.2.19

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{80}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 5.2.2.20

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{80}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.2.21

在公分母上合并分子。

$\frac{80 - 1 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.2.22

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.22.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{80 - 3}{3}$

解题步骤 5.2.2.22.2

从 $80$ 中减去 $3$ 。

$\frac{77}{3}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{77}{3}$

小数形式：

$25.\overline{6}$

带分数形式：

$25 \frac{2}{3}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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