微积分学示例

$\int_{2}^{4} 6 x \ln (x) d x$

解题步骤 1

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int_{2}^{4} x \ln (x) d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x$ 。

$6 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$6 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 3.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 3.4

将 $\frac{x^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

解题步骤 3.5

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

解题步骤 3.5.2.2

约去公因数。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

解题步骤 3.5.2.3

重写表达式。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x}{2} d x)$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{2}^{4} x d x))$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4})$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简。

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解题步骤 6.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

解题步骤 6.1.2

组合 $\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

解题步骤 6.2

代入并化简。

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解题步骤 6.2.1

计算 $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

解题步骤 6.2.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3

化简。

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解题步骤 6.2.3.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$6 (\frac{\ln (4) \cdot 16}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.2

将 $16$ 移到 $\ln (4)$ 的左侧。

$6 (\frac{16 \cdot \ln (4)}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.3

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.3.1

从 $16 \ln (4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 (1)} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.3.2.2

约去公因数。

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.3.2.3

重写表达式。

$6 (\frac{8 \ln (4)}{1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.3.2.4

用 $8 \ln (4)$ 除以 $1$ 。

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.5

将 $4$ 移到 $\ln (2)$ 的左侧。

$6 (8 \ln (4) - \frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.6

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.6.1

从 $4 \ln (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.6.2.2

约去公因数。

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.6.2.3

重写表达式。

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.6.2.4

用 $2 \ln (2)$ 除以 $1$ 。

$6 (8 \ln (4) - (2 \ln (2)) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.8

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.9

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.9.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.9.2.2

约去公因数。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.9.2.3

重写表达式。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.9.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{4}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.11

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.11.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.11.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}{2})$

解题步骤 6.2.3.11.2.2

约去公因数。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}{2})$

解题步骤 6.2.3.11.2.3

重写表达式。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2}{1}}{2})$

解题步骤 6.2.3.11.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 1 \cdot 2}{2})$

解题步骤 6.2.3.12

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 2}{2})$

解题步骤 6.2.3.13

从 $8$ 中减去 $2$ 。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{6}{2})$

解题步骤 6.2.3.14

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.14.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2})$

解题步骤 6.2.3.14.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.14.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 (1)})$

解题步骤 6.2.3.14.2.2

约去公因数。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1})$

解题步骤 6.2.3.14.2.3

重写表达式。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{3}{1})$

解题步骤 6.2.3.14.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 1 \cdot 3)$

解题步骤 6.2.3.15

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 3)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$6 (8 \ln (4)) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $\ln (4)$ 重写为 $\ln (2^{2})$ 。

$6 (8 \ln (2^{2})) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

解题步骤 7.2.2

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{2})$ 。

$6 (8 (2 \ln (2))) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

解题步骤 7.2.3

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) + 6 \cdot - 3$

解题步骤 7.2.4

将 $6$ 乘以 $- 3$ 。

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) - 18$

解题步骤 7.3

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$6 (16 \ln (2)) - 12 \ln (2) - 18$

解题步骤 7.3.2

将 $16$ 乘以 $6$ 。

$96 \ln (2) - 12 \ln (2) - 18$

解题步骤 7.4

从 $96 \ln (2)$ 中减去 $12 \ln (2)$ 。

$84 \ln (2) - 18$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$84 \ln (2) - 18$

小数形式：

$40.22436316 \dots$

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