微积分学示例

$\int_{1}^{e} \ln^{2} (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln^{2} (x)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $x$ 和 $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ 。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

解题步骤 2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

解题步骤 2.2.2

用 $\ln (x^{2})$ 除以 $1$ 。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \ln (x^{2}) d x$

解题步骤 3

将 $\ln (x^{2})$ 重写为 $2 \ln (x)$ 。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 2 \ln (x) d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - (2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x)$

解题步骤 5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

解题步骤 6

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

解题步骤 7.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\ln^{2} (x) x$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

解题步骤 9.2

计算 $\ln (x) x$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

解题步骤 9.3

计算 $x$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

解题步骤 9.4

化简。

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解题步骤 9.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

解题步骤 9.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$1^{2} e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

解题步骤 10.1.2

一的任意次幂都为一。

$1 e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

解题步骤 10.1.3

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

解题步骤 10.1.4

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$e - 0^{2} - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

解题步骤 10.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e - 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

解题步骤 10.1.6

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e + 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

解题步骤 10.1.7

化简每一项。

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解题步骤 10.1.7.1

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$e + 0 - 2 (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

解题步骤 10.1.7.2

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$e + 0 - 2 (e - \ln (1) - (e - 1))$

解题步骤 10.1.7.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$e + 0 - 2 (e - 0 - (e - 1))$

解题步骤 10.1.7.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e + 0 - 2 (e + 0 - (e - 1))$

解题步骤 10.1.7.5

运用分配律。

$e + 0 - 2 (e + 0 - e - - 1)$

解题步骤 10.1.7.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e + 0 - 2 (e + 0 - e + 1)$

解题步骤 10.1.8

将 $e$ 和 $0$ 相加。

$e + 0 - 2 (e - e + 1)$

解题步骤 10.1.9

从 $e$ 中减去 $e$ 。

$e + 0 - 2 (0 + 1)$

解题步骤 10.1.10

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$e + 0 - 2 \cdot 1$

解题步骤 10.1.11

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$e + 0 - 2$

解题步骤 10.2

将 $e$ 和 $0$ 相加。

$e - 2$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e - 2$

小数形式：

$0.71828182 \dots$

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